1r ciclo ¿Alguién me puede ayudar a entender anillos, cuerpos y grupos?

[UnaiFisUCM]

Soy un estudiante de primero de grado de físicas, y en álgebra el profesor ha dado una pequeña introducción de anillos, cuerpos y grupos. Sin embargo, no la he entendido demasiado bien, no sé si es porque es demasiado abstracta o qué, pero no consigo entenderlo. Se que son conjuntos de números con unas operaciones definidas para cada uno de ellos y unas propiedades establecidas, per no soy capaz de resolver ejencicios tan sencillos como éste, entonces busco a alguien que me explique como resolverlos. Aquí os dejo un ejercicio, si fuerais tan amables de explicarme como se resuelve un apartado me vendría muy bien, pero no quiero que me los resuelvan.
Encontrar todoslos k\in Z tales que
4\equiv 2k (mod 7)
-3k\equiv 4 (mod 9)
12\equiv 3k (mod 10)
5k\equiv k (mod 15)

Gracias, un saludo.

[beliytxuri]

Re: ¿Alguién me puede ayudar a entender anillos, cuerpos y grupos?

Vamos a resolver sólo el primero, de acuerdo a tu petición:

$<br /> 4\equiv 2k(mod 7)<br />$

Podemos dividir por 2 puesto que en ${Z}_{7 }$, el 2 tiene inverso para el producto:
$<br /> 2\equiv k(mod 7)<br />$

y, simplemente aplicando la definición de congruencia módulo 7:

$<br /> k = 7q + 2, \forall q\in Z<br />$

¡Suerte con el resto! (Verás que están chupaos...)

[UnaiFisUCM]

Re: ¿Alguién me puede ayudar a entender anillos, cuerpos y grupos?

Muchas gracias por hacerlo por pasos e ir explicando los pasos que has hecho, voy a ver si me salen los siguientes, porque la verdad es que no tenía ni idea de lo de las congruencias en Z de módulo m. Pero gracias a tu explicación he encontrado algunas cosillas y voy a ver si me salen.

[xXminombreXx]

Re: ¿Alguién me puede ayudar a entender anillos, cuerpos y grupos?

Eso son congruencias simples. Te recomiendo, si te interesa, cogerte un libro de matemática discreta de primero, porque las tratan muy a fondo y lo hacen independientemente de estas estructuras algebraicas que comentas. Cuando las entiendes ves que son simples e interesantes.

Un libro muy básico, barato y simple es el de la serie ANAYA de introducción a las matemáticas llamado "Matemática Discreta", cuesta 8 euros y la parte de teoría de números contiene una parte de congruencias. En general, todos los libros de matemática discreta de primer curso contienen una parte de teoría de números en la que tratan ese tema más o menos a fondo.

Con respecto a las estructuras algebraicas, son simplemente lo que dices, conjuntos de elementos con una o más operaciones definidas en ese conjunto de manera que se cumplan algunas propiedades. Yo estoy dando álgebra como tú, según veo en la UCM, igual que yo. A nosotros no nos han hecho ninguna introducción pero ya había estudiado antes estructuras algebraicas, y según lo poco que hemos visto de temario hasta ahora no vas a necesitar profundizar mucho. Con las tres estructuras que dices (grupo, anillo y cuerpo), te sobra. Si quieres algo de bibliografía, hay un libro que se llama "Números, grupos y anillos" que habla del tema, al nivel de primero, además trata congruencias más algebraicamente como pedías tú. Si no, puedes mirar la bibliografía de la asignatura "Estructuras algebraicas" de segundo de matemáticas en la UCM y sacar algún libro de la biblioteca, que lo he tenido que hacer, aunque sobra decir que no necesitas llegar al nivel de esa asignatura, ni mucho menos.

Un saludo y suerte.

[UnaiFisUCM]

Re: ¿Alguién me puede ayudar a entender anillos, cuerpos y grupos?

Para ver si lo tengo claro, el segundo apartado tiene como solución: k = -3q - 4/3 con q \in Q.

[xXminombreXx]

Re: ¿Alguién me puede ayudar a entender anillos, cuerpos y grupos?

En todo caso sería 3q-4/3, resolviendo la ecuación tal cual. Sin embargo, estás en los enteros, no en los racionales. No puedes encontrarte por ahí un 4/3 ni incluir q en los racionales. Está trabajando con $\mathbb{Z}_n$, en este caso n=9.

$3k\equiv -4\mod 9$

Trabajando con todos los enteros, en estos casos no creo que convenga coger restos negativos, así que cambiamos el -4 por por 5, fíjate que si un número es congruente con -4, también lo es con 5:

$3k\equiv 5\mod 9$

Fíjate ahora que no tiene solución. 3k recorre todos los mútiplos de 3, y por lo tanto los de 9. Pero los múltiplos de 3 son congruentes con 0, 3 ó 6 módulo 9, nunca con 5, así que no tiene solución el segundo.

Un saludo.