1r ciclo Encontrar vector perpendicular a un plano

[Nachopla]

Hola,

Tengo la siguiente consulta, que no me recuerdo mucho la materia de planos.

tengo por ejemplo un plano de ec. -x+3y-6z=6, y un punto como el origen. La idea es encontrar la direccion del vector que sale perpendicular al plano y pasa por el origen en coordenadas cartesianas.

Espero que me puedan ayudar.
Saludos

[arivasm]

Re: Encontrar vector perpendicular a un plano

En primer lugar, las componentes de un vector no dependen de su punto de aplicación. El vector que buscas es el vector director del plano, que es el (-1,3,-6) multiplicado por un escalar arbitrario. Si lo que buscas es una recta que pase por el origen y que sea perpendicular al plano, sería x=-t, y=3t, z=-6t

[angel relativamente]

Re: Encontrar vector perpendicular a un plano

En efecto, como dice arivasm, las componentes de un vector no dependen de su punto de aplicación, así que no tiene mucho sentido que te pidan un vector perpendicular a un plano que pase por un punto. En todo caso pueden pedirte que una recta pase por un determinado punto y tenga un vector director perpendicular al plano, esto es, que te pidan una recta perpendicular al plano que pase por un determinado punto.
Para calcular el vector normal al plano, se hace del siguiente modo: Sea el plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $\vec n=(A,B,C)$

Es decir, en tu caso, sería el (-1,3,-6) como indica arivasm.
Esto no es del todo cierto. Vectores perpendiculares al plano hay muchos, infinitos, pues solo ha de cumplir la condición de perpendicularidad, no dice nada de módulos ni sentidos. Así que tan válido es el (-1,3,-6) como el (1,-3,6), o el (-2,6,-12). Todos esos vectores son proporcionales. Podemos generalizarlo a:

$\lambda (-1,3,-6)$

Eso es lo que ha querido decir arivasm cuando pone "multiplicado por un escalar arbitrario", en este caso nuestro $\lambda$. (Aunque siendo algo quisquilloso, no es tan arbitrario, ha de cumplirse que $\lambda \neq 0$).

Pero por eso no te preocupes, no suelen pedirte los "infinitos" vectores perpendiculares. A ti te sobra con uno, así que haces $\lambda=1$ y tu vector normal es $(-1,3,-6)$.

Quería dejar claras algunas cosas, espero no haber causado el efecto contrario.

Saludos,

[Nachopla]

Re: Encontrar vector perpendicular a un plano

Uff, error mio de redacción están en lo correcto, lo que buscaba es la direccion del vector director, del lado del plano que contiene al origen, por lo que en este caso debiera ser (1,-3,6).

Sin embargo, en la respuesta del problema (Determinar el vector solo es una parte de este), me señalan lo siguiente. $\dst \frac{{a}_{ x}-3{a}_{ y}+6{a}_{ z} }{ \sqrt{46} }$. no comprendo el origen de la raiz de 46, lo que si es seguro es parte de la direccion del vector.

Gracias a ambos, ya se me esta refrescando mas la materia

[angel relativamente]

Re: Encontrar vector perpendicular a un plano

Esa fórmula es, si no me equivoco, la distancia de un punto a un plano. Pero según yo la conozco, es:

$d(P,\pi)=\dfrac{\left\vert{} Aa_x+Ba_y+Ca_z+D \right\vert{} }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Y ahí le falta el término D. Si contextualizases mejor ese ejercicio te podría decir algo más.
Lo que desde luego está claro es que:

$\dst \sqrt{46}=\sqrt{1^2+(-3)^2+6^2}$

Saludos,

[rupiopan]

Re: Encontrar vector perpendicular a un plano

$\dst \sqrt{46}=\sqrt{1^2+(-3)^2+6^2}$ eso el el módulo del vector que si divides el vector $(-1,3,-6)$ por ese número el vector ha cambiado de longitud pero lo que interesa es la dirección y sentido, que es el mismo, todos los vectores proporcionales a $(-1,3,-6)$ tienen la misma dirección y sentido