1r ciclo obtener la matriz de la aplicación lineal

[rupiopan]

hola! me gustaría que me ayudarais a obtener la matriz de cambio de base, en base canónica, de la aplicación lineal de ${R}^{4 }\to{R}^{3 }$

y nos dan las condiciones

$\dst f(1,-1,1,1)=(1,1,2) , f(0,1,1,1)=(2,1,-1)$
$\dst (1,2,1,1)\in {f}^{-1}(1,-1,1) , (0,1,-1,0) \in Ker f$

con las imágenes del espacio objeto tendríamos la mitad
$<br /> \begin{bmatrix}<br /> 1 & 2 & t_{13} & t_{14} \\<br /> 1 & 1 & t_{23} & t_{24} \\<br /> 2 &-1 & t_{33} & t_{34} <br /> \end{bmatrix}$

y que ecuaciones planteo para acabar de escribir la matriz? gracias

[rupiopan]

Re: obtener la matroz de la aplicación lineal

hola! me respondo a mi mismo y relanzo el problema,

lo que he estado indagando es que como nos dan $\dst (1,2,1,1)\in {f}^{-1}(1,-1,1)$ eso quiere decir que la aplicación ess inyectiva y por lo tanto
$\dst f (1,2,1,1)=(1,-1,1)$ y junto con el ker(f) ya tengo suficientes ecuaciones para resolver todos los coeficientes de la matriz de la aplicación lineal en la base canónica

lo que había puesto antes en la matriz está mal, no tenemos ninguna información inicial y hay que hacer

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

4 veces para conseguir las 16 incognitas, no se si esto es en plan a saco o hay otro modo rollo 2+2 y esto es una salvajada obra de mi mente física degenerada

Saludos y gracias

P.D. La matriz esa tan wapa está en este link que simplemente aparece poniendo matriz en latex en Google

[xXminombreXx]

Re: obtener la matroz de la aplicación lineal

rupiopan, lo que has puesto último no es matemáticamente consistente. La función f es de R⁴ -> R³. La función se "come" vectores de 4 dimensiones, y devuelve vectores de 3 dimensiones, decir f(1,-1,1) = (1,2,1,1) no tiene sentido. $\dst (1,2,1,1)\in {f}^{-1}(1,-1,1)$ Esto significa que el punto (1,2,1,1) pertenece a la imagen inversa de (1,-1,1). Es decir, que f(1,2,1,1) = (1,-1,1). De hecho la aplicación no puede ser inyectiva, porque hay más de un vector que te devuelve el vector (1,-1,1), te dan uno de ellos.

Lo que dices en la primera linea tampoco es correcto. Matriz de cambio de base es una cosa, y matriz de aplicación lineal, otra distinta. Aquí te pedirán la matriz de la aplicación en la base canónica, así que los dos vectores que has puesto de la matriz son incorrectos, puesto que esos vectores columna deberían ser $f(e_1)$ y $f(e_2)$. Este problema consiste en resolver un sistema relativamente simple. Te dan os imágenes.

$\dst f(1,-1,1,1)=(1,1,2) , f(0,1,1,1)=(2,1,-1)$

De la inclusión te la segunda en una imagen inversa puedes sacar otra (puesto que es una aplicación entre conjuntos sabemos que un mismo vector en R⁴ no puede llevar a más de uno en R³
$\dst f(1,2,1,1) = (1,-1,1)$

Y con el que pertenece al nucleo, por definición de nucleo de aplicación entre conjuntos, sabemos que:

$\dst f (0,1,-1,0) = (0,0,0)$

Aprovechando la linealidad de la aplicación, podemos poner las cuatro igualdades como:


$f(e_1) -f(e_2)+f(e_3)+f(e_4) = e_1' + e_2' + e_3'$
$f(e_2)+f(e_3)+f(e_4) = 2e_1'+e_2'-e_3'$
$f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)+f(e_4) = e_1'-e_2'+e_3'$
$f(e_2)-f(e_3) = 0$

$e_i$ son vectores unitarios de la base canónica de R⁴ y $e_i'$ los de R³.

Sólo tienes que despejar cada $f(e_i)$ y cada una de ellas será una columna de la matriz.

Un saludo, te recomendaría estudiar los conceptos porque fallas en ellos.

[rupiopan]

Re: obtener la matroz de la aplicación lineal

totalmente de acuerdo, el tema del vector imagen es que se me ha traspapelado con otro problema de R³ -> R⁴, perdón.

Voy a resolverlo para comprobar que da lo mismo de las 2 formas.

Mil gracias

[rupiopan]

Re: obtener la matroz de la aplicación lineal

el resultado es el mismo pero tu método es mucho más elegante, tu tienes 4 incógnitas y yo tengo 12 (todas las componentes de la matriz)

mil gracias de nuevo