1r ciclo Vectores de dimensión n

[guibix]

Buenas,

Estoy buscando una expresión general para hallar el módulo y los ángulos de un vector $\vec{u}$ de dimensión $n$ del que se nos dan las componentes $c_i$.

Para el módulo, creo que es fácil generalizando pitágoras:

$$|\vec{u}|=\sqrt{\sum_{i = 1}^n c_i^2}$$

Para los ángulos la cosa se me complica. Los ángulos para coordenadas polares me parece que no sirven, porqué por cada dimensión añadida, se multiplican las relaciones entre ángulos.

He pensado que puedo crear una sucesión y hallar el ángulo para cada plano entre cada componente y la siguiente, de manera que con $n-1=m$ ángulos debería poder definir la posición angular:

$$\theta_m=Arctan\left(\frac{c_{n+1}}{c_n}\right)$$

¿No sé si la notación es la apropiada, pero es correcto el planteamiento?

Gracias

[lindtaylor]

Re: Vectores de dimensión n

Si tengo un vector de $n$ componentes en un espacio de n dimensiones, para hallar sus angulos con respecto a cada eje, lo que yo haria es encontrar la proyeccion de dicho vector sobre cada eje (asi tendria un vector con norma la proyeccion, y direccion del eje respectivo) y luego aplicar producto punto entre cada proyeccion con el vector $v$ y usaria la propiedad $\displaystyle <proy_{x_i}v,v>=|proy_{x_i}v||v|\cos(\theta_i)$

[guibix]

Re: Vectores de dimensión n

Gracias lindtaylor.

Esto era para ver si podía deducir el ángulo de cada componente con la siguiente, para generalizarlo para funciones continuas en un espacio de Hilbert y encontrar una función de ángulo $\theta(x)$. Pero no supe ver que para cualquier función continua $f(x)$, el ángulo entre una $x$ y la "siguiente" $x+dx$ es siempre de 45º, cuando $f(x)\neq 0$. Por lo tanto a nivel general sería algo como:

$$tan\angle (x,x+dx)=\frac{\sqrt{(f(x))^2}}{f(x)}=\frac{|f(x)|}{f(x)}=sign(f(x))$$

¿Es eso correcto?

De hecho cumple con:

$$|f(x)|tan(\theta(x))=|f(x)|sign(f(x))=f(x).$$

Parece obvio, pero como estos conceptos a veces lían un poco, quiero asegurarme .

Gracias y saludos.

[carroza]

Re: Vectores de dimensión n

Hola.

No entiendo tu argumento.

Si $f(x)$ es un vector en n dimensiones que depende de un parámetro x, el ángulo entre $f(x)$ y $f(x+dx)$
tiende a cero cuando $dx$ tiende a cero.

La derivada de ese ángulo con respecto a x sería la curvatura de la trayectoria que define $f(x)$.


Saludos

[guibix]

Re: Vectores de dimensión n

Uy! Ahora me doy cuenta de que he cometido errores garrafales en las fórmulas y el razonamiento, pero el "problema" persiste y ahora estoy desarrollando un razonamiento más profundo y corregido. Cuando lo tenga lo subo aquí. Eso me pasa por no pensar y leer tres veces antes de darlo por bueno

Hola.

No entiendo tu argumento.

Si $f(x)$ es un vector en n dimensiones que depende de un parámetro x, el ángulo entre $f(x)$ y $f(x+dx)$
tiende a cero cuando $dx$ tiende a cero.
La derivada de ese ángulo con respecto a x sería la curvatura de la trayectoria que define $f(x)$.

No estoy seguro de si hablamos de lo mismo. Yo me refiero a una función continua que representa a un vector en un espacio Hilbert con la norma $||x||=\sqrt{x,x}$, producto interno y demás propiedades, de infinitas dimensiones. Cada $x$ distinta es un eje ortogonal a cualquier otra $x$ y la función representa el valor para cada componente del vector.

Dejemoslo en una sola pregunta antes de replantear mi razonamiento:

¿Si en un espacio de Hilbert como el descrito, cada $x$ de la función es un eje de coordenadas ortogonal a los demás, son entonces ortogonales $x$ y $x+dx$ si son (técnicamente) dos $x$ distintas?

Es que me da la impresión que mientras $dx\neq 0$, $x$ es ortogonal a $x+dx$ y solo cuando es exactamente $dx=0$ deja de serlo.

Gracias y saludos.

[carroza]

Re: Vectores de dimensión n

Hola.

Si consideras funciones normalizables en un espacio de Hilbert, entonces puede demostrarse que dichas funciones pueden desarrollarse en una base infinita pero discreta.

Un ejemplo serían las autofunciones del oscilador armónico, que pueden usarse para desarrollar cualquier función normalizable.

Si consideras dos funciones muy próximas, digamos $f(x)$ y $f(x)+\delta f(x)$, estas funciones no son ortogonales, sino todo lo contrario. Su solapamiento tiende a 1.

[guibix]

Re: Vectores de dimensión n

Si consideras dos funciones muy próximas, digamos $f(x)$ y $f(x)+\delta f(x)$, estas funciones no son ortogonales, sino todo lo contrario. Su solapamiento tiende a 1.

Eso sí lo veo, pero no hablo de ángulo entre funciones sino del ángulo entre ejes consecutivos del espacio.

Quizás he hecho un mal uso de de la $f(x)$, lo diré de otra forma, sin hablar de funciones y sólo con el espacio que he definido. Cada $x$ representa un eje, una dimensión del espacio, $x=a$ es un eje, $x=b$ otro si $a\neq b$. Ambos ejes son ortogonales independientemente se sus valores siempre que $a\neq b$. De aquí mi pregunta ¿Si $b=a+dx$ es $a$ ortogonal a $b$?

Lo que a mi me parece es que mientras $a\neq b$, $a$ y $b$ son ortogonales y si y solo si $a=b$ dejan de serlo.

El caso es que yo aún estoy con las Series de Fourier y esto aún me viene un poco grande, disculpad si me lío un poco con algunos términos y expresiones. Solo que me iría de maravilla para un modelo de AI que estoy "pariendo"

Saludos.

[carroza]

Re: Vectores de dimensión n

Hola.

Hay un ejemplo físico de la construcción que estas tratando, en mecánica cuántica.

Considera las autofunciones de una partícula libre. Son ondas planas, de tipo $|k> = \exp(i k x)$. Para cada momento k, tienes una
autofunción diferente, y dos funciones con momentos k y k' diferentes son ortogonales. Solamente cuando k y k' coinciden, las funciones solapan.

Estrictamente hablando, el producto escalar de dos ondas planas es

$<k|k'> = \delta(k-k')$

donde $\delta(k-k')$ es una función delta de Dirac, que es cero cuando k es distinto de k', e infinito cuando k=k'.

Saludos