1r ciclo Problema de Algebra

[skinner]

Buenas a todos. Tengo que resolver el siguiente ejercicio:

Si $Q$ es una matriz $m\text{x} n$ con $m>n$ y tal $Q^TQ$ es la matriz Identidad de orden $n$, calcule los autovalores y autovectores de la matriz $QQ^T$.

Agradecería una respuesta sencilla y no muy avanzada porque no me acuerdo demasiado de Álgebra...

Un saludo amigos, y gracias

[xXminombreXx]

Re: Problema de Algebra

A mi me sale lo siguiente:

Sea Q:V->W y $Q^t$:W->V dos aplicaciones. Sabemos que $Q^t$Q = I, así que los autovectores de $Q^t$Q son todo el espacio V, ya que para todo x en V, $Q^t$Qx = x.

Ahora hacemos lo siguiente, cogemos un vector x:

Qx = y

Entonces sabemos que $Q^t$y = x

Ahora le pasamos la aplicación Q a ambos lados:

Q$Q^t$y = Qx
Q$Q^t$y = y

Y se cumple para todo y que sea imagen de un x sobre la aplicación Q, así que los autovectores de Q$Q^t$ son toda im Q, y su autovalor es 1.

Por el otro sentido, si suponemos un autovector y de Q$Q^t$, de modo que Q$Q^t$y = $\lambda y$, y llamamos x = $Q^t$y, entonces:

Qx = $\lambda y$
$Q^t$Qx = $Q^t$$\lambda y$ = $\lambda$ x

Así que si lambda es autovalor de Q$Q^t$ debe serlo también de $Q^t$Q, y de $Q^t$Q sabemos que el único autovalor es 1, así que también debe serlo de Q$Q^t$, y por lo tanto im Q es el espacio propio único de Q$Q^t$.

Puedes sacar además que si Qx = 0, entonces $Q^t$0 = 0. Así que si un vector pertenece al nucleo de Q, entonces $Q^t$Qx debe ser 0, pero eso sólo pasa con el vector 0 porque $Q^t$Q = I, así que (dim ker Q = 0), y por lo tanto (dim im Q = dim W = n), así que el espacio propio de la aplicación también es el espacio completo W.

Un saludo.

[skinner]

Re: Problema de Algebra

Una respuesta maestra, muchas gracias, ahora lo entendí bastante bien

Pero tengo entendido que además del autovalor 1, el autovalor 0 es también solución. En particular la solución viene AQUÍ, pero era demasiado compleja como para que yo la entendiera, no sé si pudieras "traducirmela" a un lenguaje algo más sencillo

Un saludo amigo, espero tu respuesta.

[xXminombreXx]

Re: Problema de Algebra

El autovalor 0 corresponde a los vectores del nucleo ya que Qx = 0 si x pertenece al nucleo.

La verdad es que la respuesta del pdf es más elegante, pero todavía no he estudiado bien ese tipo de transformaciones y no es una solución que me hubiese salido de manera natural, hay algunas cosas que hace que no tengo del todo claras.

Mi último párrafo contradice la solución del pdf, así que habría que revisarlo, creo que he supuesto mal algo. Lo revisaré porque es un problema interesante y además tengo examen en no mucho tiempo.