Secundaria Planos y rectas

[Sheldoniano]

Considera los puntos A(1,0,2), B(-1,2,4) y la recta r definida por:

$\dst\frac{x+2}{2}=y-1=\frac{z-1}{3}$

a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y B
b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene lo puntos A y B.
_____

Mi resolución:
Sea el segemento $\vec{AB}=(-2,2,2)$ cuyo punto medio es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El plano mediador tendrá la forma: $\pi \equiv -2x+2y+2z+D=0$

Sustituyendo M obtenemos $D=-8$ Por tanto $\pi \equiv -2x+2y+2z-8=0$

Correcto? Bien mi duda viene en el apartado b)

Sea el vector de la recta $\vec{r}=(2,1,3)$ y el vector ya calculado antes

$\vec{AB}=(-2,2,2)$ y, por ejemplo, el punto $A(1,0,2)$

Calculo un vector normal al plano aplicando el producto vectorial de $\vec{r}\times\vec{AB} =(-4,-10,6)$

Teniendo dos vectores directores y el punto A:

Desarrollo el determinante

$\begin{pmatrix}<br /> x-1 & 2 & -4 \\<br /> y & 1 & -10 \\<br /> z-2 & 3 & 6<br /> \end{pmatrix}$ (esto es un determinante pero no recuerdo como se ponía en LATEX

Obteniendo el plano $\pi \equiv 36x-24y-16z-4=0$

Cumpliéndose que es un plano paralelo a r al ser el producto escalar de sus vectores cero y al sustituir A también dando cero. El caso es que con B no sale cero y repasando el ejercicio me he dado cuenta que el vector formado por A y B y el vector de r no son paralelos por lo que no podría darse un plano que contenga a ambos puntos siendo paralelo a la recta.

Mi pregunta es: ¿Tengo razón? En caso negativo, ¿qué he hecho mal?

Un saludo y perdón por la parrafada

[angel relativamente]

Re: Planos y rectas

Considera los puntos A(1,0,2), B(-1,2,4) y la recta r definida por:

$\dst\frac{x+2}{2}=y-1=\frac{z-1}{3}$

a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y B
b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene lo puntos A y B.
_____

Mi resolución:
Sea el segemento $\vec{AB}=(-2,2,2)$ cuyo punto medio es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El plano mediador tendrá la forma: $\pi \equiv -2x+2y+2z+D=0$

Sustituyendo M obtenemos $D=-8$ Por tanto $\pi \equiv -2x+2y+2z-8=0$

Correcto?

Sí, aunque se me ocurre otro método.

Sea $P_\pi(x,y,z)$ un punto genérico que equidista de A y de B:

$dis(P,A)=dis(P,B)$

Operando y reordenando te queda la ecuación del plano.

Bien mi duda viene en el apartado b)

Sea el vector de la recta $\vec{r}=(2,1,3)$ y el vector ya calculado antes

$\vec{AB}=(-2,2,2)$ y, por ejemplo, el punto $A(1,0,2)$

Calculo un vector normal al plano aplicando el producto vectorial de $\vec{r}\times\vec{AB} =(-4,-10,6)$

Teniendo dos vectores directores y el punto A:

Desarrollo el determinante

$\begin{pmatrix}<br /> x-1 & 2 & -4 \\<br /> y & 1 & -10 \\<br /> z-2 & 3 & 6<br /> \end{pmatrix}$ (esto es un determinante pero no recuerdo como se ponía en LATEX

Obteniendo el plano $\pi \equiv 36x-24y-16z-4=0$

Cumpliéndose que es un plano paralelo a r al ser el producto escalar de sus vectores cero y al sustituir A también dando cero. El caso es que con B no sale cero y repasando el ejercicio me he dado cuenta que el vector formado por A y B y el vector de r no son paralelos por lo que no podría darse un plano que contenga a ambos puntos siendo paralelo a la recta.

Mi pregunta es: ¿Tengo razón? En caso negativo, ¿qué he hecho mal?

Un saludo y perdón por la parrafada

Lo que no sé es por qué has hecho el determinante y todo lo que viene a continuación. En ese determinante ha de aparecer un punto y dos vectores que sean direccionales del plano. Pero si $A$ y $B$ pertenecen al plano, $\vec AB$ es un vector direccional del plano por lo que $\vec{r}\times\vec{AB}$ es perpendicular al mismo.

Una vez has llegado a que:

$\vec{r}\times\vec{AB} =(-4,-10,6)$

Ya tienes un vector perpendicular al plano y perpendicular a la recta. Dicho vector será el vector normal del plano, por tanto:

$\pi \equiv -4x-10y+6z+D=0$

Sustituyendo un punto del plano (por ejemplo el A), despejas D y tras simplificar (si se puede) ya tienes el ejercicio resuelto.

Saludos,

Añadido:
OTRO MÉTODO:

Si quisieras haberlo hecho por determinantes, tendrías que haberlo tal cual, pero en lugar de poner una columna con $\vec{r}\times\vec{AB}$, tenías que haber puesto directamente $\vec{AB}$. Como r es paralela al plano, tanto AB como el vector director de r son direccionales del plano. Si lo haces, te queda:

$\pi \equiv -4x-10y+6z-8=0$

o lo que es lo mismo:

$\pi \equiv 2x+5y-3z+4=0$
Que es lo que da al sustituir en un punto el método anterior.

Saludos,

[Sheldoniano]

Re: Planos y rectas

Gracias, lo tenía enfocado a un modelo que dio en clase y por eso no salía