Divulgación problema con un homemorfismo?

[natanael]

estoy leyendome un librito titulado "Topología de los espacios métricos" y voy por un capítulo llamado "espacios homeomorfos" y por allí el autor plantea un ejemplo, el cual creo no poder entender bien porque no estoy seguro que significa exactamente $f:U\to V$, pero bueno... cito textualmente:

Si $I\subset \mathbf{R}$ es un intervalo abierto y $f:I\subset\mathbf{R}$ es una función inyectiva y contínua, entonces $f$ es un homeomorfismo entre $I$ y $f(I)$. La prueba de este hecho de apariencia inocente requiere cierto trabajo fino del análisis elemental; en efecto, se debe probar que si $f$ es una función continua e inyectiva sobre un intervalo, entonces $f$ es o bien creciente o bien decreciente. Como colorario, resulta fácial probar que si $a,\,b,\,c,\,d\in \mathbf{R}$, con $a<b$ y $c<d$, entonces los intervalos abiertos $(a,b)$ y $(c,d)$ son homeomorfo.

Además no es necesario restringirse al caso de intervalos acotados, en realidad podemos demostrar que el intervalo abierto $(-1,1)$, es homeomorfo a $\mathbf{R}^1$, por ejemplo la función $\phi :\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right) \to\mathbf{R}$, dada por $\phi (x)=\arctan x$, es un homeomorfismo.

Mi duda es, si el intervalo es $\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$ eso no correspondería al dominio de la función $\phi (x)=\tan x$. imagino que lo que voy a escribir debe estar malo, pero un forma de más o menos de ecribirla no sería $\phi : \mathbf{R}\to \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$, dada por $\phi (x)=\arctan x$, así no parece más lógico?, no sé, digo yo!, en mi ignoracia.

saludos

[xXminombreXx]

Re: problema con un homemorfismo?

Creo que tienes un problema de notación. En matemáticas, una función es un tipo particular de asociación entre dos conjuntos. Pongamos por ejemplo un conjunto A y otro B, una asociación $\gamma$ entre ambos conjuntos es simplemente una regla que relaciona elementos de ambos conjuntos, una función es una asociación que relaciona cada uno de los elementos de A con uno sólo de los elementos de B. En principio una asociación simple no presenta esas restricciones. La función, por ejemplo $f$, se define así: $f:A\to B$, y eso significa que la función toma un elemento del conjunto A y devuelve uno solo del conjunto B, y que tú a la función le puedes dar un elemento cualquiera de A, y te devolverá uno de B, dicho más llanamente, la función se come elementos de A y devuelve los de B.

Con eso, la función arctan, sería como tú dices, puesto que toma elementos de R y devuelve elementos de ese intervalo abierto. También se podría definir de R a R, porque la imagen no tiene porqué coincidir con el segundo conjunto. Quizás el libro quiso usar la función tangente, o simplemente escribió al revés los intervalos.

EDITO: Te he escrito la parrafada del principio porque me parece que me ha pasado como al autor, y es que al leer el texto he pensado en la función tangente en vez de la arctan... pero bueno, lo dejo ahí.

[natanael]

Re: problema con un homemorfismo?

o simplemente escribió al revés los intervalos.

es una posibilidad, sólo quiero corroborarlo!

[lindtaylor]

Re: problema con un homemorfismo?

Es un detalle, o escribio al reves los intervalos o queria decir que era la funcion tangente, de cualquier forma si una es un homeomorfismo su inversa tambien lo sera y viceversa.