Otras carreras Problema de Algebra

[Espiro]

Hola, tengo que hacer es siguiente ejercicio, y no tengo ni idea de como hacerlo, a ver si alguien lo podria ayudarme y resolverlo paso a paso.Gracias.

-En R4 consideramos los subespacios vectoriales dados por:

U(x,y,z,t): x+y=0;y-z=0
W=(1,1,0,1),(1,0,-1,1),(1,0,1,0)

Calcular la proyección ortogonal del punto P=(1,-1, 1,0) sobre la variedad lineal L que pasa por el punto Q=(1,0,1,1) Y tiene como espacio director a W.

[Mitor]

Re: Problema de Algebra

Hola,


No está demasiado bien expresado el enunciado de ese ejercicio. Asumo que quieres decir que $W=<(1,1,0,1),(1,0,-1,1),(1,0,1,0)>$. Además, tal y como lo has expresado, el subespacio vectorial U no vale para nada, lo cual no deja de ser preocupante. Además, el resultado es ambiguo, pero lo resolveré como creo que expresa. En cualquier caso:

Lo primero que debes hacer es calcular la variedad afín L que pasa por Q y tiene como variedad lineal W:

Esto es bien sencillo. En paramétricas, tu variedad afín L será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora bien, sabes que la dirección(Espacio vectorial) de tu proyección es ortogonal(y por tanto suplementaria) al espacio vectorial del subespacio Afín L.

Así pues, calculamos el subespacio vectorial complementario de W:
$T=\{(v=(x,y,z,t)\in{\mathbb{R}^{4}}|(1,1,0,1)v=0,(1,0,-1,1)v=0,(1,0,1,0)v=0\}$, con. Es decir, todos los vectores ortogonales a la vez a los vectores de W.

Este subespacio es:

$T=<(1,1,-1,-2)>$

Este subespacio de dimensión 1(Recta vectorial) es la dirección de tu proyección y, por tanto, si, con tu punto P y el subespacio vectorial T formas un subespacio Afín D, este subespacio afín cortará a (el hiperplano afín) L en un punto Q, y este punto Q es el que buscas.(Proyección ortogonal del punto P sobre L en dirección de T)

Bien, hagámoslo pues.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que, en ecuaciones implícitas, es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora, la intersección $L\cap{}(p+T)$ es el punto $q$, la proyección ortogonal de tu punto $p$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Efectivamente, el sistema tiene 4 incógnitas y 4 ecuaciones libres, luego tiene una única solución, tu punto $q=(,,,)$

Por tanto, doy por hecho que conoces:

-Las diferencias claras entre subespacio vectorial y subespacio afín.
-Manejarte con ecuaciones y direcciones.
-Hallar subespacio ortogonal a otro dado.
-Por supuesto, la teoría.

Pero, si necesitas ayuda con estos conceptos, no dudes en preguntar. Ahora no tengo tiempo, pero más tarde podré completar el ejercicio.

Un saludo.

P.D: Nunca te fíes de las cuentas de un matemático, y hazlas tú mismo.