Otras carreras [Dos Ejercicios] Espacio euclídeo y aplicación lineal.

[tate]

Hola a todos.

Estoy con una serie de ejercicios de álgebra, y os dejo dos de ellos a los que no sé por dónde meterle mano. El segundo más o menos creo que sé cómo es, pero os pido ayuda porque realmente me cuesta entender bien las aplicaciones lineales.

Éste es el primero:

Sea el espacio euclídeo con el producto escalar R^4 (conjunto números reales elevado a 4) usual y considere el subespacio U=L((1,-1,1,-1),(1,1,1,1),(1,-1,-1,-1)). Calcule el complemento ortogonal de U determinando una base suya y las ecuaciones cartesianas.



Éste es el segundo:

Hallar endomorfismo de R3 --> R3 de forma que Ker(f) e Img(f) sean los subespacios:

Ker(f) = {x,y,z} \in R3 (x-3=0, y=0)}
Img(f) = {x,y,z} \in R3 (y-z=0)}



Saludos y muchas gracias!!

[escarabajo]

Re: [Dos Ejercicios] Espacio euclídeo y aplicación lineal.

Hola.

Hace tiempo que dejé de estudiar estos temas, pero creo que te puedo orientar con el primero al menos.

Si un elemento genérico de $R^4$ pertenece al complemento de U entonces basta que sea ortogonal a cada elemento de la base

$\displaystyle (x,y,z,t)\cdot (1,-1,1,-1)=0=x-y+z-t$

$\displaystyle (x,y,z,t)\cdot (1,1,1,1)=0=x+y+z+t$

$\displaystyle (x,y,z,t)\cdot (1,-1,-1,-1)=x-y-z-t$

De aquí vas a obtener que el vector genérico que supusimos puede ser expresado únicamente a partir de un sólo parámetro, que es de esperar dado que el subespacio U es de dimensión 3 y necesariamente su complemento debe completar el espacio $R^4$ y tener dimensión 1.

Saludos.

[tate]

Re: [Dos Ejercicios] Espacio euclídeo y aplicación lineal.

Gracias escarabajo. Hasta ahí lo entiendo, pero si te digo la verdad ando bastante perdido en éste tema y no sé cómo seguir. Gracias!

[escarabajo]

Re: [Dos Ejercicios] Espacio euclídeo y aplicación lineal.

Bueno, lo que hay que hacer es resolver ese sistema de 4 incógnitas con 3 ecuaciones. Nos va a dar indeterminado logicamente.

Sumando la primer ecuación y la segunda

$\displaystyle 2x+2z=0 \Rightarrow x=-z$

Si colocamos la relación anterior en la segunda ecuación

$\displaystyle x+y+z+t= 0 \Rightarrow -z+y+z+t= 0 \Rightarrow y=-t$

Sustituyendo los resultados anteriores en la tercera ecuación

$x-y-z-t=0 \Rightarrow -z-(-t)-z+t=-2z=0 \Rightarrow z=0 \Rightarrow x=0$

Luego, el espacio complemento tiene la forma

$(x,y,z,t)=(0,y,0,-y)=y(0,1,0,-1)$

Entonces $(0,1,0,-1)$ es la base del complemento buscado.

Saludos.

[tate]

Re: [Dos Ejercicios] Espacio euclídeo y aplicación lineal.

Muchas gracias escarabajo!!