Otras carreras ¿Cuándo es diagonalizable la siguiente matriz?

[tate]

Hola, tengo una duda con éste ejercicio:

Me pide para qué valores de a,b y c la matriz es diagonalizable.

Esta es la matriz:

1 a 1
0 1 b
0 0 c

Los autovalores son lambda = 1 (doble) y lambda = c


Si hago que c=1, tenndría un autovalor triple y para que fuera diagonalizable, el rango de la matriz debería de ser 0, cosa que no ocurre por tanto no es diagonalizable para c=1.

Hasta aquí bien...pero ya no sé cómo seguir. ¿Alguien me puede guiar, por favor? GRACIAS!!!

[escarabajo]

Re: ¿Cuándo es diagonalizable la siguiente matriz?

Hola.

Si la dimensión del subespacio propio(mutliplicidad geométrica) coincide con la multiplicidad algebráica del correspondiente valor propio(para cada uno de ellos), entonces la matriz es diagonalizable.

En tu caso, la multiplicidad algebráica del valor propio 1 es 2(si $c\neq 1$) y $3$ si $c=1$.

Lo que tenes que estudiar ahora es en definitiva, la dimensión de cada subespacio propio, el de $\lambda=1$ y $\lambda=c$. Repito que para que sea diagonalizable la dimensión de $\lambda=1$ tendria que ser 2 y el del otro valor propio 1.

Si no me equivoqué(cosa que puede haber sucedido):

La matriz sería diagonalizable para

$c\neq 1$
$b$ cualquiera
$a=0$

Es decir, con esas condiciones cumpliendose en simultáneo, la matriz sería diagonalizable. Comprobalo a ver si sacas la misma conclusión.




Saludos.

[tate]

Re: ¿Cuándo es diagonalizable la siguiente matriz?

Muchas gracias, creo que ya lo entiendo. Para cuando c=1, no hay dudas, la matriz no es diagonalizable.

Entonces, habrá que ver lo que pasa cuando c=c (c es un valor distinto de uno).


Quedaría la siguiente matriz:


0 a 1

0 0 b

0 0 c-1



Entonces, para que la matriz fuera diagolanizable,como dices (al usar lambda=1 y tener multiplicidad 2), se tendrían que poder sacar un subespacio de dos dimensiones y esto solo sucederá cuando la matriz tenga rango=1, cierto? Y la única posibilidad de que esta matriz tenga rango = 1 es que el valor de a=0 (obviando c=1).

Muchas gracias y un saludo!

[escarabajo]

Re: ¿Cuándo es diagonalizable la siguiente matriz?

Bueno, no me acuerdo nada el tema de los rangos y eso, pero creo que es correcto tu razonamiento. Yo simplemente analicé el subespacio que generan y encontré que para a=0 es dimensión 2, y en el resto de los casos eso no sucede.