1r ciclo Matrices definidas positivas

[skinner]

Buenas amigos. Necesito resolver estos dos problemas:

1) ¿Es posible que una matriz Definida Positiva tenga alguno de sus elementos no diagonales menor a cero?

2) ¿Es posible que una matriz Definida Positiva tenga alguno de sus elementos diagonales menor a cero?

¿Me podrían poner un ejemplo de cada caso?

Muchas gracias

[Cat_in_a_box]

Re: Matrices definidas positivas

Hola skinner,

Para contestar a estas cuestiones, lo mejor es recurrir a las formas cuadráticas y a su representación matricial, supongo que estarás familiarizado con estas cosas. Así pues, la forma más sencilla que se me ocurre ahora mismo es buscar algún contraejemplo de las afirmaciones que expones.

Por ejemplo, considera la siguiente forma cuadrática:

$$q(x,y,z)=x^2+2y^2-4xz-4yz+7z^2$$

Escribimos su representación matricial, $A$, que será, por supuesto, una matriz real simétrica. Así pues tenemos que:

$$A=<br /> \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 7 \end{array} \right)$$

Observa que la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática tiene elementos no diagonales menores que cero. Para comprobar si se trata de definida positiva, nos basta con diagonalizar bajo congruencia la matriz, pues se dice que una matriz real simétrica (o su forma cuadrática asociada) es definida positiva si cualquier representación diagonal (por eso diagonalizamos) tiene sólo entradas positivas. Así pues, efectuando transformaciones elementales para diagonalizar, se obtiene que la forma diagonal de la matriz es:

$$A=<br /> \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 7 \end{array} \right)\longrightarrow <br /> \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Como ves, la representación diagonal de $q$ sólo contiene entradas positivas (1,2,1) en la diagonal, luego la forma cuadrática, o alternativamente su matriz asociada, es definida positiva. Así, se puede afirmar que: ''es posible que una matriz definida positiva tenga alguno de sus elementos no diagonales menor a cero''. Ojo, que entiendo por esto que se refiere a la matriz sin estar diagonalizada bajo congruencia (la que he puesto en (2), que como ves tenía entradas no diagonales menores que cero).

En cuanto a la segunda: ''2) ¿Es posible que una matriz Definida Positiva tenga alguno de sus elementos diagonales menor a cero?'' No sé exáctamente a qué se refiere, si a cualquier matriz simétrica o a su forma diagonal. En todo caso, recuerda que para una forma cuadrática definida positiva, o su matriz, las entradas diagonales son todas positivas en cualquier representación diagonal de la misma, o alternativamente, $q(X)>0$ para todo vector no nulo $X\in \mathbb{R}^n$. De todas formas estaría bien si especificaran si se refieren a la forma diagonal o no...Espero que al menos te haya ayudado en algo.

Saludos,

[skinner]

Re: Matrices definidas positivas

Hola cat_in_a_box, sinceramente no me acuerdo de las formas cuadráticas. El problema que se me plantea es el siguiente:

"Determinar los valores de $a$ para los que la matriz siguiente tiene descomposición de Cholesky:"


$\[ \left( \begin{array}{ccc}\alpha & -a & 2a \\-a & 3+a & a \\2a & a & 4 \end{array} \right)\]$

Se sabe que una matriz tiene descomposición de Cholesky cuando ésta es Definida Positiva y Simétrica.

¿Puedes ayudarme? Lo tengo resuelto, la primera afirmación que hace es a>0, para que el primer elemento diagonal sea mayor que cero. Pero si a>0, entonces los elementos (2,1) y (1,2) serán negativos...

Un saludo

[Cat_in_a_box]

Re: Matrices definidas positivas

Hola de nuevo,

¡Vaya! Factorización de Cholesky...sólo la he visto de pasada. Tengo que pensarlo un rato, ahora no tengo mucho tiempo (estoy haciendo tests de conducir ) pero puedes ir aplicando los diferentes criterios para una matriz definida positiva. En primer lugar, $\alpha>0$ pues una condición para que la matriz sea definida positiva es que los determinantes de las submatrices principales sean todos positivos.

Para seguir, puedes hallar el polinomio característico de la matriz y hallar sus raíces. Una matriz definida positiva ha de tener todos los autovalores mayores que cero. Puede que a partir de ahí obtengas alguna condición para $a$ o $\alpha$. La otra opción es intentar diagonalizar bajo congruencia e imponer que las entradas diagonales sean todas positivas en dicha forma, aunque veo que esa va a ser la peor forma. Esto es lo que se me ocurre de momento, a ver si sale algo de esto

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Acabo de darme cuenta que el valor del parámetro a lo puedes calcular fácilmente por simple trasposición de la matriz. Para que la matriz sea definida positiva, ésta ha de ser una matriz hermítica (ojo que hay alguna excepción, pero por lo general esto es válido), o en el caso real, una matriz simétrica, por lo que la traspuesta ha de ser igual. Si lo haces, verás que a=4. A partir de ahí, impón la condición de que al ser definida positiva, también ha de ser invertible, luego el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Con esto, podrás ya afirmar que se trata de una matriz definida positiva y tiene descomposición de Cholesky. Por cierto, no intentes calcular autovalores, la cosa se complica.

Saludos,