1r ciclo Término general de una matriz

[angel relativamente]

Saludos compañeros. El ejercicio que se me ha atascado esta vez dice lo siguiente:

Sea $A=\left( a_i^j\right) \in M_{n\times n} \left( \mathbb{R}\right)$ la matriz dada por el término general

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
i) Da el término general de la matriz traspuesta de A
ii) Encuentra la traza de A

Por otro lado, sea $B=\left( b_i^j\right)\in M_{n\times n} \left( \mathbb{R}\right)$ la matriz dada por el término general

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Da el término general de las matrices $AB$ y $A+B$ i escríbelas en forma matricial

Bueno, el apartado i) y ii) creo haberlo sacado bien. Donde tengo dudas es en la última pregunta. La matriz A es de la forma:

$$A_n= \left(\begin{array}{ccccc}<br /> 1&0&0&\cdots &0\\<br /> 1&2&0 & \cdots & 0\\<br /> 1&2&3&\cdots & 0\\<br /> \vdots&\vdots &\vdots & \vdots & \vdots\\<br /> 1&2&3&\cdots & n <br /> \end{array}\right)<br />$$

Y la matriz B de la forma:

$$B_n= \left(\begin{array}{ccccc}<br /> 0&0&0&\cdots &1\\<br /> 0&0&\cdots & 1 & 0\\<br /> 0&\cdots&1&0 & 0\\<br /> \vdots&\diagup&\vdots & \vdots & \vdots\\<br /> 1&0&0&\cdots & 0 <br /> \end{array}\right)<br />$$

Se me ocurre cómo multiplicarlas y sumarlas teniéndolas de esa forma. No obstante, me gustaría saber llegar al término general de cada matriz sin necesidad de tenerla en forma matricial. ¿Alguna idea?

Muchas gracias,

Saludos

[arivasm]

Re: Término general de una matriz

Para la suma no se me ocurre nada que no sea obvio: A+B simplemente suma 1 a los elementos de la diagonal secundaria de A.

Para el producto se me ocurre que podemos visualizar B como una colección de vectores columna, $b_i$ cuyos elementos son nulos salvo uno que es la unidad. En concreto el elemento no nulo es el $n-j+1$. Como el producto $A b_i$ es igual a la columna de A cuyo índice es igual al del elemento no nulo de $b_i$ (quiero decir que si el elemento no nulo de $b_i$ es el 5º, por ejemplo, $A b_i$ será igual a la 5ª columna de A. Por tanto, el efecto de hace AB es reflejar horizontalmente (usando una terminología más informática que matemática) la matriz A.

[angel relativamente]

Re: Término general de una matriz

Para la suma no se me ocurre nada que no sea obvio: A+B simplemente suma 1 a los elementos de la diagonal secundaria de A.

En efecto, llegar a la forma matricial es sencilla pues basta sumarle uno a la diagonal secundaria. No obstante, a partir de eso no es tan trivial llegar al término general de la matriz. Según la profesora, que lo corrigió sin pararse, los elementos $c_i^j$ de la matriz $C=A+B$ pueden escribirse de la forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Lo cual cuesta mucho de ver por inducción, es decir, probando con valores concretos y pequeños de n, pero que parece ser la suma de ambos términos generales (imponiendo las condiciones de cada sumando). Y mi pregunta es, ¿se puede generalizar esa regla? Si tengo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y si el término general de la primera matriz no tuviese 2 condiciones sino n condiciones, y el término general de la segunda matriz tuviese m condiciones, ¿se formaría una nueva matriz cuyo término general siguiese esta regla y tuviese un total de $n\times m$ condiciones?

Para el producto se me ocurre que podemos visualizar B como una colección de vectores columna, cuyos elementos son nulos salvo uno que es la unidad. En concreto el elemento no nulo es el . Como el producto es igual a la columna de A cuyo índice es igual al del elemento no nulo de (quiero decir que si el elemento no nulo de es el 5º, por ejemplo, será igual a la 5ª columna de A. Por tanto, el efecto de hace AB es reflejar horizontalmente (usando una terminología más informática que matemática) la matriz A.

Comprendo lo que quieres decir, es una forma de visualizarlo que no se me había ocurrido. Además, en el caso del producto, es sencillo ver por inducción que el término $d_i^j$ de la matriz resultante será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
No obstante aquí si que no logro ver un método general para el producto de dos matrices cualesquiera dadas por el término general. ¿Se os ocurre algo o hay que intentar deducirlo por inducción o por algún otro método específico para cada matriz?

Saludos y muchas gracias,

[arivasm]

Re: Término general de una matriz

¿se puede generalizar esa regla? Si tengo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y si el término general de la primera matriz no tuviese 2 condiciones sino n condiciones, y el término general de la segunda matriz tuviese m condiciones, ¿se formaría una nueva matriz cuyo término general siguiese esta regla y tuviese un total de $n\times m$ condiciones?

Desde luego nadie podrá decir que eso no es correcto. Otra cosa es que, en ciertos casos, no sea la salida más elegante.

...aquí si que no logro ver un método general para el producto de dos matrices cualesquiera dadas por el término general. ¿Se os ocurre algo o hay que intentar deducirlo por inducción o por algún otro método específico para cada matriz?

Quizá la respuesta esté visualizando en qué casos las sumas $c_{ij}=\sum_{k} a_{ik} b_{kj}$ admiten ser generalizadas si los $a_{ik}$ y $b_{kj}$ se definen mediante condiciones. Ahora bien, me temo que dependerá muy mucho de cómo sean las condiciones, en particular cómo afecten al índice suma, k. Claro que, digamos que, mi cabeza no ve más allá.