1r ciclo Subespacios Vectoriales

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo una duda de concepto acerca de la interpretación geométrica y todo lo que engloban los subespacios vectoriales nulo de una matriz A y el columna de la misma matriz.

Supongamos que tenemos una matriz A, de dimensiones 3x3, y que tiene rango máximo. Es decir, todas sus columnas son linealmente independientes y por ello, forman una base de ${R}^{3 }$. Entonces, por ello, de la definición de Ax=y que dice que "y es el vector resultante de transformar otro vector x mediante A" y que por tanto, y se encuentra en el espacio columna de A.

Ahora veamos el caso de la misma matriz, pero esta vez de rango 2. Esto quiere decir que hay dos vectores linealmente independientes que forman base de este subespacio. Por otro lado, la dimensión del espacio nulo es 1, por tanto, hay un vector que define este subespacio. Entonces, teniendo estas dos observaciones presentes, se podría decir que el espacio columna es un plano formado por los dos vectores L.I. y el nulo es una recta que pasa por el origen y que interseca con el plano. Dicho esto, mis dudas son las siguientes:

1.- ¿El subespacio nulo de la matriz es siempre ortogonal al subespacio columna?

2.- En el caso de Ax=y, ¿y tiene que estar siempre contenida en el subespacio columna?

3.- En el caso de que A sea de rango 2, si queremos encontrar un vector x tal que, mediante A lo transforme en y (Ax=y), para que esto se pueda cumplir, ¿y tiene que estar en el subespacio columna, en el nulo, en los dos, en ninguno...?

Creo que tenía más dudas, pero hasta el momento solo me acuerdo de estas.

Un Saludo

Muchas gracias

[sam]

Re: Subespacios Vectoriales

[MAL]

[kuvala]

Re: Subespacios Vectoriales

Hola!!

Muchas gracias por contestar antes de nada. De lo que has dicho, hay algunas cosillas de las que no estoy totalmente de acuerdo jeje. Voy a poner mis razonamientos diciendo lo que yo creo que es.

1.- ¿El subespacio nulo de la matriz es siempre ortogonal al subespacio columna?

Pues en general no, aunque puede serlo. Supongamos que tenemos una matriz ${A}_{ 3x3}$, que la reducimos mediante Gauss y llegamos a que tenemos dos columnas L.I. y una tercera que es combinación lineal de las anteriores. Esto nos muestra que la dim(Col(A))=2 y que dim(Nul(A))=1 y por tanto, podemos deducir que Col(A) será un plano en ${R}^{3 }$ y Nul(A) será una recta que pasa por el origen, también de ${R}^{3 }$.

Sabemos que la solución de un sistema se puede expresar como una solución particular del sistema más la solución homogénea. Esto vectorialmente se ve más facil: puesto que Col(A) es un plano (para verlo mejor, supongamos que es el plano XY), una solución particular será "coger un vector ${\vec{x}}_{ P}$ de Col(A)" tal que, al hacer A${x}_{ P}$ nos dé el vector $y$, es decir, A${x}_{ P}=y$; por otro lado, la solución del sistema homogéneo será aquella dirección en lal que "todos los vectores de esa dirección que mediante A se transformarán en el vector nulo". Entonces, lo de antes sería: $x={x}_{H }+{x}_{ P}$. Geométricamente sería "desplazar la dirección de Nul(A) según la dirección de ${x}_{ P}$"

Bueno, dicho esto,

$$Ax=y \Rightarrow A({x}_{H }+{x}_{ P})=y \Rightarrow A{x}_{H }+A{x}_{ P}=y \Rightarrow A{x}_{H }=0 \Rightarrow A{x}_{ P}=y$$

Entonces, con esto se puede ver que no necesariamente hace falta que Nul(A) sea ortogonal a Col(A). Sin embargo, lo que sí se puede hacer es sacar una base de cada subespacio (nulo y columna), los cuales, todos sus vectores sean ortonormales. En ese caso, sí serán ortogonales ambos subespacios.

2.- En el caso de $Ax=y$, ¿$y$ tiene que estar siempre contenida en el subespacio columna?

Pues sí, se puede ver facilmente en la demostración anterior. Vemos que multiplicar ${x}_{ P}$ por A por la derecha implica hacer una combinación lineal de las columnas de A (las cuales forman base de Col(A)) y que, como resultado de esa combinación lineal, tienen que dar el vector $y$

3.- En el caso de que A sea de rango 2, si queremos encontrar un vector x tal que, mediante A lo transforme en y (Ax=y), para que esto se pueda cumplir, ¿y tiene que estar en el subespacio columna, en el nulo, en los dos, en ninguno...?

Parte de esta pregunta ya está respondida en el anterior apartado. Pero si la matriz fuese de rango 2, matriz 3x2, tendríamos un problema "sobredeterminado" en el cual, se pretendería llegar mediante la transformación a través de A de un vector de ${R}^{ 2}$ a otro vector de ${R}^{ 3}$, lo cual es imposible. En ese caso, se tendría que considerar un problema de mínimos cuadrados y resolver por las ecuaciones normales de Gauss (creo que se llamaban así, jeje)

Espero haber puesto todo bien jejeje

Un Saludo!!

[sam]

Re: Subespacios Vectoriales

Totalmente de acuerdo, muy buena la explicación, ya lo he entendido yo jaja Thanks.

¿Yo es como si hubiera considerado que la unica solución es la homogenea en el 1?