1r ciclo Determinante Matriz Simétrica

[mariolp]

Buenos días, tengo que resolver un determinante simétrico de orden nxn y no tengo idea de como hacerlo, creo que la forma sería reducirlo a una matriz triangular para así resolver el determinante tomando el producto de la diagonal pero no consigo llegar a la triangular, el determinante en cuestión es este:

$$\begin{vmatrix}<br /> 2 & -1 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & \cdots & 0 \\<br /> 0 & -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix}$$

Es decir, la diagonal principal compuesta de doses, acompañada de dos diagonales de -1 y el resto todo ceros.
Muchas gracias de antemano compañeros

[angel relativamente]

Re: Determinante Matriz Simétrica

Hola mariolp, a mí se me ocurre lo siguiente.
Si hacemos $F_1+2F_2$ obtenemos:

$$\begin{vmatrix}<br /> 2 & -1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & \cdots & 0 \\<br /> 0 & -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix} \sim \begin{vmatrix}<br /> 0 & 3 & -2 & \cdots & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & \cdots & 0 \\<br /> 0 & -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix}$$

Que desarrollando por $C_1$ queda:

$$=(-1)^3\cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix}<br /> 3 & -2 &0 & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}<br /> 3 & -2 &0 & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix}$$

Que es un determinante de orden $n-1$. Si ahora hacemos $F_1 + 3F_2$ obtenemos:

$$\begin{vmatrix}<br /> 3 & -2 &0 & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix} \sim<br /> \begin{vmatrix}<br /> 0 & 4 & -3 & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix}$$

Que desarrollando de nuevo por $C_1$ queda:

$$=\begin{vmatrix}<br /> 4 & -3 &0 & \cdots & 0 \\<br /> -1 & 2 & -1 & \cdots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\<br /> 0 & \cdots & -1 & 2 & -1 \\<br /> 0 & \cdots & \cdots & -1 & 2 \\<br /> \end{vmatrix}$$

Que es un determinante de orden $n-2$. Nótese que el adjunto siempre queda una potencia impar (3 en concreto), que al multiplicarla por $(-1)$ queda uno y por ello no le pongo un factor multiplicando delante.

Observa que repitiendo el mismo proceso, es decir, haciendo $F_1+kF_2$, con $k=2,3,...,n-1$, obtendremos que el determinante inicial equivale a:

$$\begin{vmatrix}<br /> n & 1-n \\<br /> -1 & 2 \end{vmatrix} = n+1$$

Puedes comprobar manualmente como para un 3x3 el determinante vale 4 y para un 4x4 vale 5. Quizá sea conveniente hacerlo como paso previo para intuir qué camino escoger.

¡Saludos!

[mariolp]

Re: Determinante Matriz Simétrica

Muchas gracias angel relativamente, la verdad no me había fijado en la forma del adjunto, muchas gracias!