1r ciclo Dependencia lineal y alguna duda

[mariolp]

Buenas! Tengo una dudilla (dos de hecho) respecto a los espacios vectoriales, a ver si me podéis echar una mano:

1. Cuando se nos da un sistema de vectores y tenemos que analizar su dependencia lineal, es decir, si son linealmente dependientes o independientes, en los textos que he leído se colocan como columnas de una matriz y se reduce mediante Gauss o Gauss-Jordan para buscar los vectores con pivotes. Pero mi duda es: ¿No se puede hacer lo mismo colocándolos por filas? A mi esta forma me resulta más intuitiva ya que al realizar operaciones elementales por filas estás restando las $x$ con las $x$, las $y$ con las $y$, etc. (Si no se puede hacer así agradecería una explicación del por qué)

2. La segunda duda es la diferencia entre la suma de subespacios $S+T$ y la unión de subespacios $S \cup T$, entiendo que la unión de subespacios no es un subespacio pero no veo la diferencia entre los dos. Intento imaginármelo según los diagramas de Venn pero sigo sin ver la diferencia

Muchas gracias de antemano, un saludo!

[Sheldoniano]

Re: Dependencia lineal y alguna duda

1. Puesto que la dependencia de vectores no es más que el rango de la matriz formada por ellos, y se puede calcular orlando la matriz o por Gauss como tú bien dices en principio no debería haber problema, aunque si es cierto que usualmente se ponen como columnas para ver cuál es el vector linealmente dependiente.

2. Puede ser que en un caso el vector formado por combinaciones lineales de los elementos de los subespacios quede dentro o fuera del subespacio formado por S y T?

[mariolp]

Re: Dependencia lineal y alguna duda

En respuesta a lo primero, también había pensado en ello, pero al ponerlo en filas sigo sabiendo que vectores son dependientes y cuales no. De hecho se me hace más raro intuitivamente al hacerlo por columnas por el hecho de estar sumando a, por ejemplo, la primera coordenada de un vector sumarle su segunda coordenada.
Y en respuesta a lo segundo estoy casi seguro que es eso, ya que en unión de S y T, al ser subespacio, es cerrado para la suma y la multiplicación escalar y por ello el vector formado por combinación lineales esta dentro del subespacio. Poniendo un ejemplo en R2 donde S sea vectores de la forma (x,0) y T vectores de la forma (0,y), es decir, S son los vectores en el eje OX y T son los vectores en el eje OY, ¿entonces la unión entre los dos subespacios sería el espacio total R2? y S+T sería únicamente los vectores en el eje OX o OY, por ejemplo (1,2) no estaría en S+T
No sé si estoy en lo cierto pero creo que van por ahí los tiros