1r ciclo Atrancado en demostración de la desigualdad triangular para vectores de C^n

[Ishtar0]

Hola a todxs.Quisiera que alguien me ayudara a demostrar la desigualdad triangular referida a vectores del espacio vectorial C^n sobre el cuerpo C, de los números complejos. He intentado adaptar la demostración referida a vectores de R^n, pero sin éxito.Lo que quiero demostrar es que la norma de la suma de dos vectores, x+y, de C^n es menor o igual que la suma de la norma de x más la norma de y. Siento no poder introducir símbolos, pero no me apaño con el LATEX. Intento introducir iconos, pero no me salen en pantalla.La demostración en cuestión me la pide el libro de Álgebra Lineal, autor Seymour Lipschutz, capítulo 2, problema 2.98., apartado L3.Tengo 36 años, estudio a mi aire y estoy interesado en esto. Cualquier ayuda será bienvenida. Gracias. Un saludo.

[guibix]

Re: Atrancado en demostración de la desigualdad triangular para vectores de C^n

Si he entendido bien, quieres demostrar que

$$||\vec{v}+\vec{u}||\leqslant ||\vec{v}||+||\vec{u}||.$$

La definición de norma en el cuerpo complejo es

$$||z||=\sqrt{z\bar{z}},$$

Siendo $\bar{z}$ el conjugado de $z$. Si $z=a+bi \Leftrightarrow \bar{z}=a-bi.$ Para los reales el conjugado de un numero real $z$ es él mismo y su norma queda

$$||z||=\sqrt{zz}$$

Para $C^n$ se trata igual que en $R^n$, solo que cada dimensión $n$ tiene $2n$ componentes: una para la parte real y otra para la parte imaginaria.

Para resolver la norma en vectores, el producto dentro de la raíz es un producto escalar de vectores.

Si tengo en $C^2$ un vector $\vec{z}=(a+bi,c+di)$ y su conjugado es $\bar{\vec{z}}=(a-bi,c-di)$, la norma de ése vector es

$$||\vec{z}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

[Ishtar0]

Re: Atrancado en demostración de la desigualdad triangular para vectores de C^n

No estoy conforme con la demostración, falta desarrollarla para llegar al resultado final.

Disculpa que no te pueda responder adecuadamente, pero no me entero del LATEX. ¿Podrías indicarme algún libro donde figure esta demostración más desarrollada?. Gracias.

[guibix]

Re: Atrancado en demostración de la desigualdad triangular para vectores de C^n

No estoy conforme con la demostración, falta desarrollarla para llegar al resultado final.

No te voy a desarrollar toda la demostración. Yo te ayudo, pero la demostración la tienes que hacer tu. Solo tienes que aplicar la última ecuación a la primera. En $C^2,$ para dos vectores $\vec{v}=(a+bi,c+di)$ y $\vec{u}=(e+fi,g+hi),$ tenemos que

$$||\vec{v}+\vec{u}||\leqslant ||\vec{v}||+||\vec{u}||.$$

$$\sqrt{(a+e)^2+(b+f)^2+(c+g)^2+(d+h)^2} \leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2+g^2+h^2}$$

solo es una igualdad si $a=e,$ $b=f,$ $c=g$ y $d=h.$ Para cualquier otro valor, la suma de módulos de vectores es siempre mayor al módulo de la suma de vectores.

¿Podrías indicarme algún libro donde figure esta demostración más desarrollada?

Todo lo que he puesto son propiedades de los números complejos y se describe en casi todos los libros de álgebra. Quizás no encuentres una demostración completa de eso en concreto, pero sí puedes encontrar cada parte demostrada. Lo que buscas está generalizado en los Espacios de Hilbert.

Disculpa que no te pueda responder adecuadamente, pero no me entero del LATEX.

Mírate éste hilo para aprender a usarlo.

Un saludo.