1r ciclo Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

[Sheldoniano]

Muy buenas,
hoy me gustaría que me ayudaseis a resolver una duda básica pero que me parece bastante importante a la hora de operar con vectores y espacios vectoriales.

Supóngase que tenemos un conjunto de vectores linealmente independientes, por ejemplo cuatro vectores linealmente independientes y dichos vectores tienen cuatro componentes.
Bien, ahora supongamos que estamos en $\mathbb{R}^2$ y cogemos dos de esos vectores linealmente independientes. Como son l.i son base del subespacio.
Si nos vamos a $\mathbb{R}^3$ y cogemos tres de esos vectores linealmente independientes también tenemos una base.

Mi pregunta-duda es dos vectores en el plano o tres en el espacio linealmente independientes que forman base, qué significado tiene que tengan 4, 5 o las componentes que sean? No sé si me explico bien...

Gracias

[Aer]

Re: Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

No entiendo, las componentes no te determinan en qué espacio estás? si tienes 3 componentes estas en un espacio de tres dimensiones, si dos en un plano (supongo que no será eso tu pregunta, pero no termino de comprender)
Saludos y siento no ser de más ayuda.

[Sheldoniano]

Re: Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

La dimensión de un espacio es el conjunto de elementos de su base, por eso no entiendo que en un ejercicio me digan que están en $\mathbb{R}^2$ y me dan dos vectores como sistema generador pero esos dos vectores tienen tres o cuatro componentes a veces(que no siempre)

[Aer]

Re: Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

Supongo que el que tenga dos componentes y que solo tenga dos elementos lineal mente independientes debe ser algo equivalente, si llamas a los vectores de la base a y b, cualquier vector del espacio sera un número de veces "a" ($\alpha a$) mas otro número de veces "b" ($\beta b$), dos componentes ($\alpha,\beta$).

De todas formas me parece un poco extraño lo que dices, entiendo que me digas que un espacio de dimensión dos puede estar formado por vectores de dimensiones diferentes, pero al espacio $\mathbb R^2$ solo pertenecen elementos con dos componentes reales, no?

[Sheldoniano]

Re: Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

Vale estoy rebuscando apuntes, y cosas que estoy encontrado por internet y estoy leyendo que las coordenadas respecto a una base nos permiten realizar operaciones con dichos vectores en un espacio vectorial finitamente generado como si se tratara de k a la n. Vamos que un vector de cuatro componentes genera R cuatro pero en un sub espacio R dos tb puede realizar operaciones como si de R cuatro se tratara, que bonita y abstracta es el álgebra

[Aer]

Re: Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

Que locura, y qué operaciones puedes hacer en un espacio R dos con un vector de R cuatro?, no tenía ni idea jaja
Saludos.

[Breogan]

Re: Espacios vectoriales. Dimensión del espacio y componentes de los vectores

Hola:

Mucho no me acuerdo de esto, asi que seguro que vamos a compartir mas dudas que certezas.

Si vos tenes un espacio vectorial n-dimensional y tenes una base orto normal de este espacio formado por n versores linealmente independientes, cuando tomas un numero k<n de elemento de esta base, tendrás la base del nuevo espacio k dimensional en base a k vectores unitarios ortogonales y no habría problemas.

En base a esta base orto normal podemos obtener una base de n vectores por combinacion de estos que sean LI entre si, y al tomar k vectores de esta base volvemos a generar un nuevo espacio k dimensional pero no tendría la mismas características del anterior.

p.e.

Si tenemos $\text{R}^3$ con una base unitaria $(\hat u_i \forall i\ =\ 1,\ 2,\ 3)$, tenemos un espacio tridimensional, si tomamos dos de estos versores, parece obvio que estos serán base de un espacio de dos dimensiones plano generado por su combinacion lineal y que coincide con alguno de los planos coordenados de $\text{R}^3$.

Ahora en función de esta base podemos definir una nueva base que sea: $\dst \hat u'_j\ =\ \sum_{i = 1}^3\ a_j^i\ \hat u_i$ con j=1, 2, 3, que solo le pedimos que sea linealmente independiente, si de estos tomamos dos generaremos un espacio de dos dimensiones que sera un plano (de esto no estoy tan seguro) y que no coinsidira con los planos coordenados. Creo

Suerte