1r ciclo Duda con la pertenencia de matrices a espacio vectorial

[Julián]

[FONT=verdana]En las matrices está definida la multiplicación de matrices, no necesariamente se pueden multiplicar por un escalar además existe la matriz inversa y la matriz identidad. Entonces ¿como es esto? si en los axiomas de espacio vectorial no está incluido la existencia de un elemento neutro multiplicativo y la existencia del elemento inverso multiplicativo. [/FONT]

[FONT=verdana]saludos.[/FONT]

[[Beto]]

Re: Duda con la pertenencia de matrices a espacio vectorial

No entiendo bien a que te refieres ...

[Julián]

Re: Duda con la pertenencia de matrices a espacio vectorial

un espacio vectorial es $( A , + , . )$ donde $A$ es el conjunto de objetos y los demás elementos de la estructura algebraica son las operaciones que se aplican sobre dichos elementos.

La multiplicación es una multiplicación por un escalar, es decir, un elemento que pertenece a un cuerpo algebraico $K$. Por esta particularidad (de la operación externa) además de los 5 axiomas de grupo algebraico abeliano que resultan del conjunto $A$ y la operación suma, se le anexan 4 axiomas mas (que resultan de la operación producto por un escalar) constituyendo 10 axiomas del espacio vectorial.

La estructura $(A, + , .)$ no es un cuerpo algebraico ya que no existe un elemento inverso multiplicativo. Pero para el caso de las matrices si existe el elemento inverso multiplicativo, lo que se llama matriz inversa.

sea ${B}_{2x2}$ y ${C}_{2x2}$ tal que $BC=I$

donde $I$ es la matriz identidad. Así que $C$ es el inverso multiplicativo de $B$

¿entonces en que quedamos con respecto que en el conjunto $A$ que constituye un espacio vectorial no existe un inverso multiplicativo ?

[arivasm]

Re: Duda con la pertenencia de matrices a espacio vectorial

Quizá haya que recordarle a Julián un par de cosas: que no se puede multiplicar dos matrices cualesquiera (deben concordar en sus órdenes: el número de filas de una debe ser igual al de columnas de la otra) y que incluso en el caso de las matrices cuadradas, no todas las matrices tienen inversa (las de determinante nulo no la tienen).

En resumen, el que las matrices de un orden determinado constituyan un espacio vectorial es una cosa. Otra diferente es que se plantee la posibilidad de que algún subconjunto del conjunto de las matrices pueda constituir un cuerpo (cosa que francamente dudo, al menos con las operaciones suma y producto habituales).