1r ciclo condición de base

[Julián]

[FONT=verdana]Las bases de un espacio vectorial son conjunto de vectores de los cuales. [/FONT]

[FONT=verdana]1) los vectores del conjunto base tiene que pertenecer al espacio vectorial. [/FONT]
[FONT=verdana]2) el conjunto de vectores base tiene que generar al espacio vectorial. [/FONT]
[FONT=verdana]3) el conjunto de vectores base tienen que ser linealmente independientes. [/FONT]

[FONT=verdana]Las dos primeras condiciones la entiendo y me parecen lógicas pero no entiendo porque tiene que estar la tercera condición. ¿por qué los vectores que forman la base tienen que ser linealmente independientes? ¿qué me aporta eso?[/FONT]

[javier m]

Re: condición de base

Si mal no me acuerdo, aporta que todo vector del espacio lo puedas escribir de forma única.

[Julián]

Re: condición de base

entonces para un subconjunto de vectores S del conjunto que conforman al espacio vectorial V, estos pertenecen a V, y generan a V pero son linealmente dependientes por lo que para un vector $vec{u}$ que pertenece a V y no se encuentra en S hay más de una forma de escribirlo mediante la combinación lineal de S.
Intento buscar un ejemplo para para cualquier conjunto de vectores que elijo que no sean linealmente independientes estos no generan al espacio vectorial. ¿Me podrían dar una ayuda?

[javier m]

Re: condición de base

No te entendí bien,¿ lo que tu pides es un ejemplo de un conjunto de vectores linealmente dependientes que no genere el espacio vectorial?

[Julián]

Re: condición de base

no, un conjunto linealmente dependiente que genere a V. Que sería el caso contrario al tercer item porque sino se diera el caso sería inservible poner esa condición

[javier m]

Re: condición de base

Digamos que la Base $B$ de V es $B=${$e_1,e_2,....,e_n$}

Es facil ver que $C=${$e_1,e_2,...,e_n,e_1+e_2$} genera a V y es linealmente dependiente, puesto que $e_1,e_2$ y $e_1+e_2$ son linealmente dependientes.

Como un ejemplo particular, los vectores de siempre: $i,j$ y $k$ generan a $R^{3}$ y son L.I, pero a su vez, $i,j,k$ y $j+k$ generan $R^3$ y son linealmente dependientes

[Julián]

Re: condición de base

Tengo una última duda con respecto al tema. ${R}^{n}$ ¿hace referencia a la dimensión del espacio vectorial o a la cantidad de componentes de los vectores del espacio vectorial?

[guibix]

Re: condición de base

La dimensión del espacio vectorial es siempre igual al numero de componentes del mismo. Es decir, los dos son iguales a $n$.

[Julián]

Re: condición de base

Pero por ejemplo los vectores $(1,0,1)$ y $(0,1,0)$ tienen 3 componentes pero generan a un plano. La cantidad de componente de los vectores no es igual a la cantidad de vectores de la base de dicho espacio vectorial, que en este caso es un subespacio de ${R}^{3}$

[guibix]

Re: condición de base

Ups!, cierto. Me confundí con las componentes mínimas necesarias para crear el espacio. O sea, el número mínimo de datos necesario para definir un punto en dicho espacio es igual a la dimensión. Aunque los vectores que has definido crean un plano, has usado tres componentes para crearlo y ése plano forma parte de un espacio de dimensión superior. Pero por definición tienes razón, ya que puedes definir un espacio con más componentes de las necesarias. Perdón por el lío.

Saludos.

[javier m]

Re: condición de base

Pues según veo, $R^n$ se define así:

$R^n=${$(x_1,...,x_n)/ x_i \in R, i=1,...,n$}