1r ciclo Espacio dual

[mariolp]

Buenos dias/tardes, estoy atascado en un problema sobre espacios duales, en concreto:
Supóngase que $u,v \in V$ y que $f(u)=0 \longrightarrow f(v)=0$ para todos los $f \in V*$. Demostrar que $v=c \cdot u$ para algún escalar $k$.
Lo que he hecho es aplicar la definición, es decir

$$f \left( \begin{matrix}v_1 \\\vdots \\v_n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}a_1 & \cdots & a_n\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}v_1 \\\vdots \\v_n \end{matrix}\right) = a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n = 0$$

$$f \left( \begin{matrix}u_1 \\\vdots \\u_n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}a_1 & \cdots & a_n\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}u_1 \\\vdots \\u_n \end{matrix}\right) = a_1 u_1 + \ldots + a_n u_n = 0$$

Luego

$$a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n = a_1 u_1 + \ldots +a_n u_n$$

Y aquí ya me atasco, porque si miramos componente a componente (creo que se puede hacer) nos quedaría por ejemplo $a_1 v_1 = a_1 u_1$, luego $v_1 = u_1$, y en general $v_i = u_i , \forall i = 1, \ldots ,n$. Entonces,¿ eso querría decir que se cumple y $c=1$? . No tengo muy claro haber seguido el procedimiento correcto, agredecería que le echarais un ojo y me comentaseis si he seguido el buen camino o me he desviado en algún momento
Un saludo y gracias de antemano

[mariolp]

Re: Espacio dual

¿Nadie puede echar una manita con esto?

[Julián]

Re: Espacio dual

No conozco el tema de espacio duales pero a mi parecer la lógica que utilizaste es correcta. Además como los vectores $({v}_{1},{v}_{2},...,{v}_{n})$ y $({u}_{1},{u}_{2},...,{u}_{n})$ son linealmente independientes (siempre y cuando los escalares no sean todos nulos de otra forma sería necesaria otra demostración) y los escalares para obtener el vector nulo son los mismos en la combinación lineal de los 2 conjuntos entonces ${v}_{i}={u}_{i}$.
Al demostrar que ambos vectores son iguales entonces no queda más que decir que $c$ necesariamente tiene que ser 1.

[arivasm]

Re: Espacio dual

Yo, sin embargo, no estoy de acuerdo con Julián. De todos modos, también debo advertir que son conceptos que tengo muy oxidados.

Haré una lectura geométrica del enunciado: los vectores u y v deben satisfacer que satisfacen la misma relación de perpendicularidad con los vectores $\vec a=(a_1,a_2,...,a_n)$, en el sentido de que si una función lineal dada representada por un vector $\vec a$ es perpendicular a $\vec u$ (como evidencia el que el producto escalar sea nulo) ello implica que también es perpendicular a $\vec v$ entonces deberá concluirse la proporcionalidad entre ambos vectores, $\vec v=c\vec u$ (con un c que no necesariamente será la unidad).

Desde luego, parece lógico que el resultado será cierto (otra cosa es demostrarlo), pues todos los vectores que resulten de multiplicar a $\vec u$ por un escalar cualquiera $c\vec u$ mantendrán la misma relación de perpendicularidad que tenga $\vec u$ con un $\vec a$. Además, la recíproca es obvia: si $\vec a\cdot\vec u=0$, entonces $\vec a\cdot(c\vec u)=0$, para cualquier c. Esto significa que no necesariamente debe ser c=1.

Quizá la demostración pase porque los vectores $\vec a$ que tienen producto escalar nulo con un $\vec u$ determinado forman un subespacio vectorial, de dimensión n-1 (y éste sería un elemento esencial*), y la idea podría ser que si $\vec v$ también tiene producto nulo con los elementos de ese subespacio y no fuese proporcional a $\vec u$ entonces los dos pueden constituir una base de un subespacio vectorial de dimensión 2 que también será ortogonal al que mencioné al principio de este párrafo. Aunque intuyo que eso es una contradicción con la dimensión n-1 anterior, no se me ocurre una manera clara de guiarte hacia el resultado.

(*) La idea intuitiva es que la ecuación $a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n=0$ tendrá n-1 valores $a_i$ independientes.

[mariolp]

Re: Espacio dual

Muchas gracias Julian403 y arivasm. La verdad es que la demostración me pareció "demasiado obvia" como para ser cierta. Tampoco lo había pensado desde una perspectiva geométrica y lo cierto es que tiene bastante lógica que sea para un $c$ cualquiera ya que se mantendría el paralelismo...
A ver si alguien más nos aporta un granito de arena
Muchas gracias y feliz año!

[arivasm]

Re: Espacio dual

En la sección 4.3 de este documento (mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo4.pdf) se trata el concepto de anulador de un subespacio vectorial. Si u y v no son proporcionales entonces serán linealmente independientes, de manera que definirán un subespacio vectorial de dimensión 2 cuyo anulador será el subespacio dual del enunciado. Ahora bien, como la dimensión de éste es n-1, según comenté antes, se incumplirá la proposición 4.7 del documento que cito, por la cual la dimensión del anulador de un subespacio es n menos la dimensión de dicho subespacio (que entonces debería ser n-2).

[mariolp]

Re: Espacio dual

Tengo que echarle un ojo a esto último que has puesto arivasm, sin embargo he pensado sobre la explicación desde el punto de vista geométrico que propusiste y no me ha parecido correcta. Al menos sólo lo es en un espacio $R^2$ ya que en un espacio mayor dos vectores pueden ser independientes a un tercero y ser siendo independientes entre ellos.
Estos días pensaré más sobre esto último que has puesto a ver si consigo sacarlo

[arivasm]

Re: Espacio dual

Quizá no me he explicado bien. El enunciado te habla de un subespacio del espacio dual $V^*$ formado por todas las aplicaciones que tienen imagen nula para un vector u dado. Si empleas una base ortonormal, de manera que no tengas que hacer distinciones entre componentes covariantes y contravariantes, los vectores de ese subespacio son todos perpendiculares al u.

Si consideramos, por ejemplo, un espacio tridimensional y u=(1,2,3), el subespacio $V^*$ será el de los vectores contenidos en el plano $x+2y+3z=0$ (bien, en realidad, usando la notación del enunciado $a_1+2a_2+3a_3=0$.

Lo que te dice el enunciado es que se puede asegurar que si hay otros vectores v que guardan la misma relación de ortogonalidad con el plano anterior, es decir $v_1a_1+v_2a_2+v_3a_3=0$ entonces $v=c(1,2,3)$.

El punto de vista geométrico que te proponía destacaba que v necesariamente deberá ser colineal con u, es decir, todos los vectores que son perpendiculares al plano $x+2y+3z=0$ necesariamente son proporcionales al vector (1,2,3), por referirse al ejemplo anterior.

[mariolp]

Re: Espacio dual

Un poco tarde voy a poner la solución a la que llegué con ayuda del profesor.
Suponemos $v=v_1$ y completamos hasta una base de V $(v_1 , v_2 , \ldots ,v_n)$ y consideramos su base dual $(f_1 , \ldots , f_n)$ en $V^\star$. Ahora ponemos $v$ como combinación lineal mediante la base de V y su dual de la siguiente manera

$$v=f_1 (v)v_1 + f_2 (v) v_2 + \ldots + f_n (v) v_n$$

Como $v=v_1$, los términos $f_2 (v), \ldots , f_n (v)$ van a ser cero, esto lo usaremos más adelante
Ahora consideramos otro vector $w$ de V y lo ponemos como combinación lineal mediante la base dual

$$w= f_1 (w) v_1 + \ldots + f_n (w) v_n$$

Por la hipótesis de partida, si $f(v)=0 \to f(w)=0$ luego como $f_2 (v) = \ldots = f_n (v) = 0 \Rightarrow f_2 (w) = \ldots = f_n (w) = 0$
Y por tanto tenemos que

$$w= f_1 (w) v_1 \xrightarrow{v=v_1} w= f_1 (w) v$$

Donde $f_1 (w) = a$