Otras carreras Suma y union de subespacios

[cronixoo]

Alguien podría explicarme que diferencia hay entre la unión y suma de subespacios con algún ejemplo.

[angel relativamente]

Re: Suma y union de subespacios

Imagínalo geométricamente: Si tenemos dos subespacios que son dos rectas no paralelas que pasan por el origen, la suma de ambos sería el plano que las contiene, mientras que la unión sería la cruz que forman ambas rectas.
Es decir, que la suma es "juntar" las bases de ambos subespacios (las que sean linealmente independientes), mientras que la unión simplemente es "juntar" todos los puntos (el único punto que tienen en común ambas rectas es el origen).
Nota que al hacer la suma lo que obtienes es un subespacio, pues dados dos vectores cualesquiera del mismo, una combinación lineal de ellos pertenece al subespacio (está en el plano). Pero la unión no tiene por qué ser en absoluto un subespacio, pues a la mínima que empieces a hacer combinaciones lineales no van a pertenecer a él (en el ejemplo que te he puesto de las rectas se ve muy claro).

Imaginárselo geométricamente para subespacios de dimensión superior no es posible, pero es fácil captando la idea en $\mathbb{R}^3$ generalizarla a $\mathbb{R}^n$.

Saludos

[Julián]

Re: Suma y union de subespacios

Una pregunta, la suma de los dos subespacios no sería otro subespacio del espacio vectorial, a lo que me refiero es por la ley de la cerradura bajo la suma. Las rectas son espacios vectoriales de dim=2 y un plano dim=3. ¿Entonces como es posible que la suma de las rectas sea el plano que las contiene?, además que el plano que contendría a esa dos rectas contiene infinitas rectas cuyo vector normal sea el normal para ambas rectas.

[angel relativamente]

Re: Suma y union de subespacios

Las rectas son de dimensión 1 y los planos de dimensión 2. No obstante, si tuviésemos un par de subespacios de dimensión 2, podría ser perfectamente que su suma de un subespacio de dimensión 3. Sin ir más lejos, imagina dos planos que pasan por el origen y son perpendiculares. La suma de ambos planos es $\mathbb{R}^3$, y eso se debe a que su intersección es de dimensión 1 (intersecan en una recta). Recuerda que por la fórmula de Grassmann

$$\dim(A+B)=\dim (A)+ \dim (B) - \dim (A \cap B)$$

siendo A y B dos subespacios. Cuando se cumple que la intersección es 0, se dice que la suma es directa y entonces sí se cumple que la dimensión de la suma es la suma de las dimensiones.

Respecto a lo de la ley de cerradura bajo la suma, nunca la había oído con ese nombre, pero lo que he encontrado es que sea $u,v\in A+B$, entonces se cumple que $u+v \in A+B$. Pero eso no contradice lo expuesto, de hecho también se cumple que $\alpha u+ \beta v \in A+B$, siendo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Donde no se cumple es en la unión.

Y estoy de acuerdo con que el vector normal sería común a ambas rectas, pero no veo que eso viole la definición.
Saludos.