1r ciclo espacio vectorial de polinomio

[Julián]

El polinomio ${P}_{3}(x)={a}_{1}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}x+{a}_{4}$ es un espacio vectorial pero ¿se expresa como un dupla de números de la forma?:

$(x;{a}_{1}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}x+{a}_{4} )$

si es así ¿los axiomas se cumplen con ${P}_{3}(x)={a}_{1}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}x+{a}_{4}$ o $(x;{a}_{1}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}x+{a}_{4} )$?

[arivasm]

Re: espacio vectorial de polinomio

Podrías representarlo como un vector $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ en la base $\lbrace x^3,x^2,x,1 \rbrace$, cumpliéndose perfectamente los axiomas de definición de un espacio vectorial.

[Julián]

Re: espacio vectorial de polinomio

Pero en la base $({x}^{3},{x}^{2}, x,1)$ no podemos representar el vector cero porque para cualquier valor de $x$ nunca obtendremos el vector $(0,0,0,0)$

[guibix]

Re: espacio vectorial de polinomio

Pero en la base $({x}^{3},{x}^{2}, x,1)$ no podemos representar el vector cero porque para cualquier valor de $x$ nunca obtendremos el vector $(0,0,0,0)$

Lo que se hace es multiplicar las componentes $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ por la base $\{ x^3,x^2,x,1\}$ para obtener el polinomio $P(x)=a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$. El vector se representa con las componentes no con la base. La base es para construir el polinomio a partir de las componentes del vector. Por lo tanto se obtiene el vector $(0,0,0,0)$ con $a_1=a_2=a_3=a_4=0$ y corresponde precisamente con el polinomio $P(x)=0.$