1r ciclo independencia lineal de par de vectores

[Julián]

Calcular si los siguiente vectores son linealmente independientes

$(1,2,4)$ y $(2,5,-3)$

Como se puede ver no son múltiplos escalares por lo que son linealmente independientes.

Pero para comprobar esto hay que resolver el sistema de ecuaciones

${c}_{1}(1,2,4) + {c}_{2}(2,5,-3)=(0,0,0)$

la matriz aumentada del sistema es:

$\begin{pmatrix}1&2&4&0 \\2&5&-3&0 \end{pmatrix}$

Pero la forma escalonada reducida por renglones de la matriz no es la matriz identidad por lo que el sistema homogeneo tiene más de 1 solución así que existen escalares no todos ceros en la combinación lineal que nos dan el vector nulo, por lo que son linealmente dependientes.

Y ahí hay una contradicción ¿cuál es el razonamiento correcto?

saludos.

[angel relativamente]

Re: independencia lineal de par de vectores

Bueno, no sé hasta que punto habrás meditado tus palabras, pero supongo que no has probado a resolver el sistema que propones e interpretar sus soluciones. Si lo que buscas son dos escalares, ¿qué pretendes sacar con un sistema que tiene 3 incógnitas?
Nota que lo único que has demostrado es que 3 vectores ( (1,2), (2,5) y (4,-3) ) no pueden ser linealmente independientes en $\mathbb{R}^2$. Pero eso se cumple para cualquier terna de vectores de $\mathbb{R}^2$.

Saludos,

[guibix]

Re: independencia lineal de par de vectores

Otra manera de demostrarlo es probando si son vectores perpendiculares, si no lo son el método no sirve. Pero en este caso el producto escalar de los dos vectores es igual 0. Con esto ya se demuestra su independencia lineal.

Salud!

[Julián]

Re: independencia lineal de par de vectores

La manera de formar la matriz ¿es colocando los vectores en las columnas o como las filas de la matriz?¿o es indiferente?
Porque lo que yo quise hacer es la matriz cuyas filas son los vectores dados.

saludos.

[angel relativamente]

Re: independencia lineal de par de vectores

En efecto, tu error consiste en que los colocas como filas, cuando debiste colocarlos como columnas. Si tienes que ${c}_{1}(1,2,4) + {c}_{2}(2,5,-3)=(0,0,0)$, es equivalente al sistema:

$c_1+2c_2=0$
$2c_1+5c_2=0$
$4c_1-3c_2=0$

cuya matriz asociada es la que tiene por columna los vectores. Puedes comprobar que el sistema homogéneo es compatible determinado, por lo que los vectores son LI.

Saludos,