1r ciclo conjunto generador

[Julián]

Un conjunto de vectores, donde cada vector tiene 2 componentes genera a ${R}^{2}$ si, son 2 estos vectores tienen que ser linealmente independientes, si son dependientes no generan a ${R}^{2}$. En cambio si son 3 vectores siempre generarán a ${R}^{2}$. Esto es por la propiedad de que si el número de vectores es $n+1$ siempre generarán a ${R}^{n}$.
Pero para el caso de tener 3 vectores $({a}_{1},{a}_{2}) , ({b}_{1},{b}_{2}), ({c}_{1},{c}_{2})$ en donde los 3 vectores son múltiplos escalares entonces no generan a ${R}^{2}$ y la regla no se cumpliría. ¿cómo es esto entonces?

saludos.

[hennin]

Re: conjunto generador

Esto es por la propiedad de que si el número de vectores es siempre generarán a .

Totalmente falso. Dado un vector, multiplica este por n+1 escalares distintos y solamente podrás generar con todos ellos un espacio de dimensión uno.

[Breogan]

Re: conjunto generador

Hola:

Nunca escuche esa regla (paso mucho tiempo desde que estudie esto), pero no estarás interpretando erróneamente el echo de que si tenes un conjunto de n vectores que generan el espacio Rn y a este conjunto le agregas un vector, este nuevo conjunto también es un generador de Rn.

Suerte

[Julián]

Re: conjunto generador

Pero yo no estoy hablando de la combinación lineal de un vector sino de la combinación lineal de $n+1$ vectores. El teorema que yo me refiero es que con $n+1$ vector, donde cada vector tiene $n$ componentes, estos aunque sean linealmente dependientes generan a ${R}^{n}$. Es decir, no son base pero al haber mayor cantidad de vectores que de componentes podemos generar el espacio ${R}^{n}$

por ejemplo

$S=((1,2),(2,1),(2,4))$

es un conjunto linealmente dependiente ,ya que $2(1,2)=(2,4)$, por lo tanto no es una base de ${R}^{2}$ pero genera a ${R}^{2}$. No estoy seguro de que exista un corolario que diga que por haber mayor cantidad de vectores que de componentes estos generan al espacio vectorial.

saludos.

[Breogan]

Re: conjunto generador

Hola:

Que haya mayor numero de vectores en un conjunto que dimensiones tiene el espacio que los contiene, no te garantiza que sea un sistema generador de dicho espacio.

Es decir, por ejemplo, vos podes tener un conjunto de n+1 vectores con n componentes que pertenecen al espacio Rn, pero n vectores de estos son una escala de uno solo de ellos, son todos vectores distintos, y el conjunto ya no es un SG de Rn, solo podría generar el espacio R

Suerte

PD: en general si mas de un vector de este conjunto es combinación lineal de los otros vectores del conjunto ya no podrás generar Rn, ya que tu numero de vectores linealmente independientes es menor que n

Otra cosa, para que un conjunto de vectores que pertenecen a Rn, sea un SG de Rn es condición necesaria y suficiente que n vectores del conjunto sean linealmente independientes.
Es lo que creo recordar de este tema

Suerte