1r ciclo Imagen de matriz y rango

[Julián]

Tengo una gran confusión con respecto a los términos imagen de una matriz y el rango. Si me podrían ayudar a despejarla se los agradecería.


Se sabe que los renglones de la matriz $A$ forman un espacio vectorial denominado ${R}_{A}$ y las columnas de $A$ forman el espacio vectorial ${C}_{A}$

y $dim({C}_{A})=dim({R}_{A})= rango (A)$


Para calcular el rango de una matriz lo que se hace es reducir por operaciones elementales por renglones a su forma escalonada reducida y de alli ver la cantidad de vectores fila que son linealmente independientes o, lo que es lo mismo, ver la cantidad de vectores columnas que son linealmente independientes. ¿esto es así? ya que la dimensión de estos espacio es la misma pero no estoy seguro que forma debo usar para encontrar el rango.


Y con respecto a la duda de la imagen de la matriz:
y el rango es la dimensión de la imagen de $A$


Sea ${A}_{mxn}$ la imagen de $A$ es el conjunto de vectores $y$ tales que para vectores cualesquiera $x$


$Ax=y$


¿la base de la imagen está dada por la base del espacio columna o la base del espacio fila?


saludos.

[pilimafiqui]

Re: Imagen de matriz y rango

Hay una fórmula que dice: dimensión del espacio inicial = dim. del núcleo +dim. de la imagen.
Los vectores de la imagen son las columnas de la matriz y su dimensión viene dado por el número de vectores que forman base.
¿Lo entiendes?. Un saludo.

[gdonoso94]

Re: Imagen de matriz y rango

Tengo una gran confusión con respecto a los términos imagen de una matriz y el rango. Si me podrían ayudar a despejarla se los agradecería.


Se sabe que los renglones de la matriz $A$ forman un espacio vectorial denominado ${R}_{A}$ y las columnas de $A$ forman el espacio vectorial ${C}_{A}$

y $dim({C}_{A})=dim({R}_{A})= rango (A)$


Para calcular el rango de una matriz lo que se hace es reducir por operaciones elementales por renglones a su forma escalonada reducida y de alli ver la cantidad de vectores fila que son linealmente independientes o, lo que es lo mismo, ver la cantidad de vectores columnas que son linealmente independientes. ¿esto es así? ya que la dimensión de estos espacio es la misma pero no estoy seguro que forma debo usar para encontrar el rango.


Y con respecto a la duda de la imagen de la matriz:
y el rango es la dimensión de la imagen de $A$


Sea ${A}_{mxn}$ la imagen de $A$ es el conjunto de vectores $y$ tales que para vectores cualesquiera $x$


$Ax=y$


¿la base de la imagen está dada por la base del espacio columna o la base del espacio fila?


saludos.

Hola Julian, lo más rápido para hallar el rango es hacer el determinante y ver si son linealmente independientes o no. La forma de reducir a la matriz escalonada es algo más lenta.

Tu segunda pregunta está enfocada a aplicaciones lineales, ¿no?
Para hallar una base de la imagen debes aplicar los vectores de la base a dicha aplicación lineal, con lo que obtienes la imagen. Luego sencillamente es aislar los que sean linealmente independientes. ¿Me he explicado bien?

Un saludo!