1r ciclo Divergencia y operador nabla

[kuvala]

Hola Buenas :

El operador nabla es un vector tal que así: $\vec{\nabla}=\frac{\partial }{\partial x}\hat{\imath}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{\jmath}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$

entonces, por ser un vector se podrá proyectar sobre otros, es decir, puede aplicarse el producto escalar y el vectorial. Este es el caso de la divergencia y del rotacional respectivamente. Sin embargo, no entiendo muy bien qué vector es $\vec{\nabla}$ "a secas". Por ejemplo, en el caso de la divergencia: $div(\vec{F})=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}$ esto sería "la proyección de nabla sobre F", pero es que nabla es un vector cuyas componentes son derivadas parciales de "algo" respecto de x, y, z. Entonces, ¿hacia qué dirección va el vector nabla?

Yo sé que el gradiente es la aplicación de este operador sobre una función escalar e indica cuál es la dirección en la que el aumento de la función es máximo, además de ser perpendicular a las lineas equiescalares o a las superficies equiescalares igualmente, pero claro, esto es cuando "nabla aplica a una función" y no cuando "nabla está sola".

Espero haberme explicado xD

Muchas gracias y un Saludo

[arivasm]

Re: Divergencia y operador nabla

Es que no es un vector al uso, sino un operador vectorial. Tu pregunta sería semejante a representar (y de hecho se hace) la derivación con un operador D de manera que la derivada de una función se escribiese Df, y nos preguntásemos "qué clase de número es D". La respuesta sería "no es un número".

[natanael]

Re: Divergencia y operador nabla

yo lo veo así,y aunque es un poco complicado, si estudias formas diferenciales, en resumen, el operador nabla es la manera de resumir operaciones que se repiten cíclicamente, al aplicar el teorema fundamental del cálculo en R^n, como toda derivada, ésta describe el ritmo de cambio de álgo, generalmente ese "álgo" puede interpretarse geométricamente, si es un conjunto sobre el eje X, al que se le ha asignado una función f(x) para la separación entre cada elemento del conjunto (se le define una métrica), esta derivada puede indicar por ejemplo, la densidad del eje X, si lo pasas al 2D como una función y=f(x), es la clásica pendiente de la curva; si lo vez como una función f(x,y), es el mismo caso, al plano se le define una especie de "densidad" y su derivada (el gradiente) indica el ritmo de cambio en una dirección determinada; ahora cuando las funciones son de R^n a R^m, los espacios (conjuntos) toman mucho mas propiedades geométricas, como divergencias y rotacionales (propiedades intrínsecas del mismo espacio); cuando haces cálculo en formas diferenciales, te tropiezas (sin esperarlo factorizas) con el operador nabla, y por eso se torna mucho más fácil escribir ciertos resultados de casos particulares, como el teorema de stokes y el de divergencia, de forma mucho más resumida