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Buenas!!
Hace un tiempo me topé con una duda en la que tenía un espacio vectorial con dos tipos de producto de vectores (aparte del producto vectorial). Según vi más tarde, había cometido un error de razonamiento y no hacia falta ninún otro producto excepto el escalar. El producto que quería definir, daba como resultado otro vector con cada componente con el producto de las componentes de los vectores multiplicados [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por lo que entendí, eso es un tipo de producto escalar definido según una métrica en donde una parte es un vector de dimensión n y las componentes de la otra parte están en la diagonal de una matriz cuadrada de n filas y columnas con ceros en el resto, por lo que en principio, las dos partes del producto son cosas distintas (vector por matriz) y el resultado es otra matriz cuadrada de n filas y columnas. Los dos productos (éste y el tradicional) pertenecen a espacios de distinta métrica y no son compatibles en un mismo espacio o eso entendí yo
.
El caso es que ahora me encuentro un caso en el que no veo otra forma de resolverlo sin dos tipos de producto en un mismo espacio.
Tengo una red neuronal artificial de dos capas (in/out) y una neurona (para simplificar). Las entradas en la red se definen por el vector . El vector de pesos de la neurona es que hace de separador lineal junto a una constante . La función de transferencia de la neurona es purelin (lineal pura), de manera que la salida de la neurona queda definida como
Aquí hablamos del producto escalar "tradicional" donde es un escalar que da una medida proporcional a la distancia del vector al hiper-plano asociado a y desplazado por .
Hasta aquí todo es lo habitual. El problema viene cuando quiero desglosar la entrada en dos partes. Supongamos que la entrada es una función del espectro de frecuencias de una onda cualquiera. Pero esa entrada está filtrada por la función del el espectro de absorción de las células foto-receptoras (cada célula es sensible a una sola frecuencia en una cierta proporción) que es una función de rango [0,1] (pero solo por conveniencia, pues podría ser de cualquier rango).
Si lo miramos como funciones continuas es fácil: los vectores y pasan a funciones y en un espacio Hilbert de dimensiones infinitas y definimos . Por lo tanto, la salida de la red queda como
Para pasar esto a vectores, tengo que definir los dos productos en un mismo espacio. Si expreso ese producto como , quedaría algo así:
¿Como puedo conciliar esto con un solo espacio y una sola métrica, si se supone que los dos productos no son compatibles?
Es como si solo fuera una base multiplicada por el vector o sus componentes fueran los coeficientes de escala para pasar de a siendo una simple aplicación lineal. Pero no deja de ser un vector del mismo espacio y debe poderse tratar como tal. De hecho y cumplen papeles distintos pero son vectores del mismo espacio.
¿Tengo que tratar como una matriz para una aplicación lineal sobre y/o viceversa. O puedo definir esa transformación como un tipo distinto de producto entre vectores? ¿No es el producto escalar tradicional un tratamiento matricial de valores dados por vectores como (casi
) cualquier otro?
¿Y porque si en un espacio de Hilbert de dimensión infinita puedo expresarlo con un simple producto de funciones continuas y en uno de dimensión finita, que trate funciones discretas como vectores, no se puede definir un producto para ello?
¿No es acaso ése un producto mucho más "natural" y "legítimo" (que incluso es una operación cerrada) que por ejemplo el producto vectorial, que ni siquiera se puede generalizar a un número de dimensiones distinta a tres y que sigue siendo otro tratamiento matricial de valores dados por vectores como (casi
) cualquier otro? ¿Que es lo que da legitimidad para decidir que un producto de matrices arregladas con valores dados por vectores se puede o no definir como producto?
Me interesa (en principio) para poder expresarlo de manera más compacta y con notación de vectores. No es que no quiera usar matrices, es que quiero precisamente representar cada una de las partes como vectores de un mismo espacio. Pero no deja de generarme dudas sobre algunos fundamentos básicos. Estoy casi seguro que me estoy perdiendo algo muy importante que no sé lo que es y/o seguro que tengo conceptos confundidos. Y por eso último (más que nada) planteo esa duda.
Espero que se entienda y gracias de antemano.
Salud!
Hace un tiempo me topé con una duda en la que tenía un espacio vectorial con dos tipos de producto de vectores (aparte del producto vectorial). Según vi más tarde, había cometido un error de razonamiento y no hacia falta ninún otro producto excepto el escalar. El producto que quería definir, daba como resultado otro vector con cada componente con el producto de las componentes de los vectores multiplicados [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por lo que entendí, eso es un tipo de producto escalar definido según una métrica en donde una parte es un vector de dimensión n y las componentes de la otra parte están en la diagonal de una matriz cuadrada de n filas y columnas con ceros en el resto, por lo que en principio, las dos partes del producto son cosas distintas (vector por matriz) y el resultado es otra matriz cuadrada de n filas y columnas. Los dos productos (éste y el tradicional) pertenecen a espacios de distinta métrica y no son compatibles en un mismo espacio o eso entendí yo
.El caso es que ahora me encuentro un caso en el que no veo otra forma de resolverlo sin dos tipos de producto en un mismo espacio.
Tengo una red neuronal artificial de dos capas (in/out) y una neurona (para simplificar). Las entradas en la red se definen por el vector . El vector de pesos de la neurona es que hace de separador lineal junto a una constante . La función de transferencia de la neurona es purelin (lineal pura), de manera que la salida de la neurona queda definida como
Aquí hablamos del producto escalar "tradicional" donde es un escalar que da una medida proporcional a la distancia del vector al hiper-plano asociado a y desplazado por .
Hasta aquí todo es lo habitual. El problema viene cuando quiero desglosar la entrada en dos partes. Supongamos que la entrada es una función del espectro de frecuencias de una onda cualquiera. Pero esa entrada está filtrada por la función del el espectro de absorción de las células foto-receptoras (cada célula es sensible a una sola frecuencia en una cierta proporción) que es una función de rango [0,1] (pero solo por conveniencia, pues podría ser de cualquier rango).
Si lo miramos como funciones continuas es fácil: los vectores y pasan a funciones y en un espacio Hilbert de dimensiones infinitas y definimos . Por lo tanto, la salida de la red queda como
Para pasar esto a vectores, tengo que definir los dos productos en un mismo espacio. Si expreso ese producto como , quedaría algo así:
¿Como puedo conciliar esto con un solo espacio y una sola métrica, si se supone que los dos productos no son compatibles?
Es como si solo fuera una base multiplicada por el vector o sus componentes fueran los coeficientes de escala para pasar de a siendo una simple aplicación lineal. Pero no deja de ser un vector del mismo espacio y debe poderse tratar como tal. De hecho y cumplen papeles distintos pero son vectores del mismo espacio.
¿Tengo que tratar como una matriz para una aplicación lineal sobre y/o viceversa. O puedo definir esa transformación como un tipo distinto de producto entre vectores? ¿No es el producto escalar tradicional un tratamiento matricial de valores dados por vectores como (casi
) cualquier otro?¿Y porque si en un espacio de Hilbert de dimensión infinita puedo expresarlo con un simple producto de funciones continuas y en uno de dimensión finita, que trate funciones discretas como vectores, no se puede definir un producto para ello?
¿No es acaso ése un producto mucho más "natural" y "legítimo" (que incluso es una operación cerrada) que por ejemplo el producto vectorial, que ni siquiera se puede generalizar a un número de dimensiones distinta a tres y que sigue siendo otro tratamiento matricial de valores dados por vectores como (casi
) cualquier otro? ¿Que es lo que da legitimidad para decidir que un producto de matrices arregladas con valores dados por vectores se puede o no definir como producto?Me interesa (en principio) para poder expresarlo de manera más compacta y con notación de vectores. No es que no quiera usar matrices, es que quiero precisamente representar cada una de las partes como vectores de un mismo espacio. Pero no deja de generarme dudas sobre algunos fundamentos básicos. Estoy casi seguro que me estoy perdiendo algo muy importante que no sé lo que es y/o seguro que tengo conceptos confundidos. Y por eso último (más que nada) planteo esa duda.
Espero que se entienda y gracias de antemano.
Salud!