1r ciclo Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

[gdonoso94]

Hola:

Hace poco me mandaron un ejercicio de álgebra que dice así:

Se dan dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo, con bases:

$\dst V=lin({\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3},\vec{v_4}})$

$\dst W=lin({\vec{w_1},\vec{w_2},\vec{w_3}})$

Realmente aquí los paréntesis son corchetes, no me deja ponerlos.

Se define $f : V \to W$

$f(\vec{v_1})=\vec{w_1}+\vec{w_2}$

$f(\vec{v_2})=\vec{w_1}-\vec{w_2}+\vec{w_3}$

$f(\vec{v_3})=\vec{w_2}$

$f(\vec{v_4})=\vec{w_1}+\vec{w_3}$

Se pide calcular el núcleo de $f$ y la imagen de $f$.

Para la imagen he hallado el rango de la matriz que forman los coeficientes de las 4 $f$, me da 3 y por el teorema de las dimensiones deduzco que la dimensión del núcleo es 1. Ahora bien, la imagen de $f$ sería W? ya que no me menciona el cuerpo $\mathbb{R}^3$

¿El núcleo sería: $\dst ker (f) = lin (\vec{v_3}+\vec{v_4}-\vec{v_2})$ )?

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Una duda de notación: ¿Lin[...] quiere decir todas las combinaciones lineales de ... ? Yo uso la notación $\langle \cdots \rangle$

Ahora bien, la imagen de sería W? ya que no me menciona el cuerpo

Que yo sepa $\mathbb{R}^3$ no es un cuerpo. No obstante, si te hablan de un espacio vectorial, no tienes por qué asociarlo con $\mathbb{R}^n$. Por ejemplo, todos los polinomios de grado menor o igual que 2 son un espacio de dimensión 3 (muy distinto a $\mathbb{R}^3$) que tiene una base con 3 vectores generadores y linealmente independientes. En este ejercicio, no se refiere ni a $\mathbb{R}^3$ ni al que yo menciono, se refiere simplemente a W.

No me he molestado en sacar el núcleo. Tú que tienes la matriz, mételo ahí y mira a ver si te lo envía al 0.

[gdonoso94]

Re: Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Hola Ángel, gracias por contestar:

"lin" se refiere a la envolvente lineal.

En cuanto a lo de \mathbb{R}^3... Es cierto que no es un cuerpo, me he colado muchísimo, jajajaja.

Para lo del núcleo a qué te refieres con que lo meta ahí? La verdad es que estoy un poco pez con el tema, por eso pregunto..

Gracias!

[angel relativamente]

Re: Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Después de buscar lo que es envolvente lineal, efectivamente es lo que decía. Es el espacio generado por esos vectores, es decir, el espacio que tiene por elementos todas las combinaciones lineales.

Con "meterlo ahí" solo estaba haciendo gala de mi estupenda forma de explicarme. El núcleo está formado por elementos de V. Tu matriz lo que hace es que al "meterle" un vector de V (es decir, multiplicar por la derecha el vector columna), mediante la aplicación f te da un vector de W. La característica de los vectores del núcleo es que al multiplicarlos por la matriz, el vector que obtienes es el $\vec 0_W$ (el subíndice está puesto expresamente, ya que el vector es un vector de W). Para calcular el núcleo se suele multiplicar un vector genérico (x,y,z,t) y resolver el sistema. Al ser de dimensión 1, el sistema será compatible indeterminado con 1 grado de indeterminación. La solución que obtengas serán todos los vectores del núcleo. Si no me he equivocado, me sale $\text{Ker}\; (f) = \text{lin}\; [\vec v_2 + \vec v_3 -\vec v_4 ]$. Pero antes de fiarte de mi resultado, te invito a que compruebes si el tuyo es correcto y si no lo es resolverlo tú solo.

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Vale, el núcleo lo escribí mal arriba, después de meter tantos subíndices los confundí y me sale exactamente lo que a ti, ¿pero el núcleo no sería la combinación lineal de esos tres? es decir: $\dst Ker (f) = lin [\vec{v_2}+\vec{v_3}-\vec{v_4}]$ o bastaría con ponerlo como tú lo has escrito?

En cuanto a la imagen, ¿sería $\dst W$?

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

¿pero el núcleo no sería la combinación lineal de esos tres?

Correcto, ahora el error tipográfico ha sido mío. Lo que yo había puesto era un espacio de dimensión 3, no de dimensión 1.

En cuanto a la imagen, ¿sería ?

.
También correcto. 3 vectores linealmente independientes de W generan W, por ser este de dimensión 3, por lo que puedes escoger como base la de las $\vec \omega$.

[gdonoso94]

Re: Cálculo de Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Perfecto Ángel, ¡muchas gracias!