1r ciclo Suma directa de varios subespacios

[gdonoso94]

Hola:
Ojeando los apuntes de álgebra me ha surgido una duda. Se define como suma directa de dos subespacios el espacio vectorial resultante de la suma de dos subespacios cuya intersección es el vector nulo.

Ahora bien: ¿La suma de varios subespacios se define como el espacio vectorial resultante de la suma de esos varios subespacios cuya intersección entre todos es el vector nulo?, y si es así, cómo podría demostrar en este ejercicio si la suma es directa o no?



¿La intersección entre ellos es el vector nulo?, ya que en principio la suma de dos vectores linealmente independientes da otro vector linealmente independiente, ¿no?.

¿Por tanto a partir de ahí se demuestra que la suma de dichos subespacios es suma directa?

Un saludo!

[gdonoso94]

Re: Suma directa de varios subespacios

Le doy un "up", ¿alguien sabe algo sobre esto?

[Pepealej]

Re: Suma directa de varios subespacios

Se define como suma directa de dos subespacios el espacio vectorial resultante de la suma de dos subespacios cuya intersección es el vector nulo.

Correcto, y también lo es decir que si la suma de dos subespacios es directa la suma de sus dimensiones es la dimensión del espacio suma.

Es decir, en este caso, para que fueran suma directa, se tendría que cumplir: $dim(W_1)\oplus dim(W_2)\oplus dim(W_3)=dim(W_1+W_2+W_3)$

El vector suma es: $W_1+W_2+W_3=\left< v_1,v_2,v_3,v_4,v_1+v_3,v_5 \right>$ que claramente no tiene dimensión 6 (tiene dimensión 5), puesto que el cuarto vector es combinación lineal del primero y el segundo.

Por tanto, la suma de estos 3 subespacios no es directa.

Espero que te sirva