1r ciclo Sobre aplicaciones lineales

[gdonoso94]

Hola, hace poco mandaron un ejercicio en clase que no consigo resolver. El ejercicio (copiado un poco en morse) dice algo así como:

Se define una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, tal que:

$$f(\vec{e_1})+f(\vec{e_2})=(1,1,0)$$

Se sabe que el núcleo de la aplicación lineal es: $\ker f=\{ (x_1,x_2)/x_1-2x_2=0 \}$

Se pide hallar la matriz de la aplicación lineal en las bases canónicas de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.

Lo que he hecho es que como se trata de una aplicación lineal:

$$f(\vec{e_1}+\vec{e_2})=(1,1,0)$$

y como $e_1$ y $e_2$ son las bases canónicas, la suma es el vector $e_1+e_2=(1,1)$, por tanto:

$$f(1,1)=(1,1,0)$$

Ahora ya no sé que más hacer, del núcleo no saco nada en concreto, pero creo que la aplicación lineal es:

$$f(x_1,x_2)=(x_1,x_2,0)$$

¿Estoy en lo cierto? ¿Cómo termino el ejercicio?

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Sobre aplicaciones lineales

La matriz de una aplicación tiene por columnas las imágenes de los vectores del espacio de salida ($\mathbb{R}^2$) expresadas en la base del espacio de llegada. La base usual de $\mathbb{R}^2$ es $(e_1 , e_2 )$. Por tanto la matriz de nuestra aplicación tendrá por columnas $f(e_1) , f(e_2 )$, expresadas en la base usual $(e_1 , e_2 , e_3 )$ de $\mathbb{R}^3$.

La primera ecuación la da el enunciado: $f(e_1)+f(e_2)=e_1 + e_2$

La segunda ecuación puedes sacarla del núcleo. Es inmediato ver que una base del mismo es $(2e_1 + e_2)$. Por ser este vector del núcleo, se tiene que $f(2e_1 + e_2)=\vec 0 \Rightarrow 2f(e_1)+f(e_2)=\vec 0$. Ya tienes dos ecuaciones lieales con dos incógnitas, y puedes despejar $f(e_1)$ y $f(e_2)$, que si no me he equivocado es $f(e_1)=-e_1-e_2$ y $f(e_2)=2e_1+2e_2$. Consiguientemente, la matriz de la aplicación en las bases usuales (o canónicas) es

$A=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} \in M_{3 \times 2 } (\mathbb{R})$

Comentario: Nota que el rango de A, que coincide con la dimensión de la imagen, es 1. Se cumple pues que la suma de dimensiones del núcleo y de la imagen (1+1) es la del espacio de salida, como naturalmente ha de ser.

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Sobre aplicaciones lineales

[FONT=Verdana]¿Cómo has sacado que esa es la segunda ecuación? Entiendo que se vea directamente (pero no lo he visto hasta que lo has escrito! xD). ¿Existe alguna forma más intuitiva (con intuitiva me refiero con lápiz y borrador) de hacerlo?

Un saludo![/FONT]

[angel relativamente]

Re: Sobre aplicaciones lineales

Si estás de acuerdo conmigo en que $(2e_1 + e_2)$ es una base del núcleo (y si no lo estás, supongo que sabes sacar bases de un espacio dadas sus ecuaciones), entonces no hay mucho más que decir. En concreto el vector $(2e_1 + e_2)$ es del núcleo, y se sabe (por definición de núcleo de una ap. lineal), que este está formado por los vectores que la aplicación f envía al 0. O sea, que $f(2e_1 + e_2)=\vec 0$.

[gdonoso94]

Re: Sobre aplicaciones lineales

¿Cómo sacarías la base de un espacio dadas las ecuaciones?
Tengo un profesor que parece un libro, escribe en la pizarra un libro tal cual, y la verdad que no sé a qué te refieres cuando dices eso.

Un saludo!

P.D.: Sé que me desvío del tema, pero es que no me queda claro.

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Por cierto!! Creo que tienes un fallo, ¡la dimensión del espacio de salida es 3!, ¿qué ocurre pues?

[angel relativamente]

Re: Sobre aplicaciones lineales

Básicamente has de resolver el sistema de ecuaciones (que siempre será compatible). La dimensión de un espacio vectorial es la del espacio de salida menos el número de ecuaciones linealmente independientes que tengas. En este caso es muy fácil, porque solo está generado por una ecuación, y nota que su solución es $x_1 = 2x_2$ . Por tanto el núcleo está generado por $(x_1, x_2)= (2x_2 , x_2) =x_2 (2,1), \quad \forall x_2 \in \mathbb{R}$.

Por cierto!! Creo que tienes un fallo, ¡la dimensión del espacio de salida es 3!, ¿qué ocurre pues?

El de salida es $\mathbb{R}^2$.

[gdonoso94]

Re: Sobre aplicaciones lineales

No sé si lo habrás visto ya, pero lee la actualización!

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Vaya, he interpretado mal la palabra salida.

Muchas gracias!