Secundaria Vectores - Triangulo

[luiseduardo]

Se muestra un triángulo equilátero MNP donde H, I y J son puntos medios de MP, MN y NP, respectivamente. Si se verifica HN = m.MN + n.JP + RG, determine m/n.




Estoy luchando para resolver si alguien sabe como solucionar agradecería si me ayudas.

[[Beto]]

Re: Vectores - Triangulo

Mira el triángulo $HNJ$, ahi tienes que $\vec{HN}+\vec{NJ}=\vec{HJ}$ y como $H$ y $J$ son puntos medios, entonces $\vec{HJ}=\dfrac{1}{2}\vec{MN}$ y $\vec{NJ}=\vec{JP}$, entonces:

$$\vec{HN}+\vec{JP}=\dfrac{1}{2}\vec{MN}\Rightarrow\vec{HN}=\dfrac{1}{2}\vec{MN}-\vec{JP}$$

Luego mira el triángulo $HRG$ ahí se tiene que $\vec{HR}+\vec{RG}=\vec{HG}$ luego como $\vec{HR}=\dfrac{1}{4}\vec{MN}$ ya que $PI$ es mediana y por tanto bisecará a $HJ$, además si tomas en cuenta que $G$ es baricentro, entonces $\vec{HG}=\dfrac{1}{3}\vec{HN}$ y por lo tanto $\dfrac{1}{4}\vec{MN}+\vec{RG}=\dfrac{1}{3}\vec{HN}$ y tomando en cuenta (1) se tiene:

$$\dfrac{1}{4}\vec{MN}+\vec{RG}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\vec{MN}-\vec{JP}\right)\Rightarrow\vec{RG}=-\dfrac{1}{12}\vec{MN}-\frac{1}{3}\vec{JP}$$

reemplazando (1) y (2) en la condición que te piden probar:

$$\dfrac{1}{2}\vec{MN}-\vec{JP}=m\vec{MN}+n\vec{JP}-\dfrac{1}{12}\vec{MN}-\frac{1}{3}\vec{JP}$$

lo que implica que

$$\left(\frac{7}{12}-m\right)\vec{MN}+\left(-\frac{2}{3}-n\right)\vec{JP}=0$$

Finalmente como esos dos vectores son linealmente independientes entonces sus coeficientes deberán ser igual a cero, así encuentras $m=7/12$ y $n=-2/3$ ... si haces el cociente obtienes el resultado que te piden.