1r ciclo Hallar los subespacios invariantes

[gdonoso94]

Hola

En un exámen me han puesto este ejercicio:

Sea

$F=\begin{bmatrix}{1}&{-5}\\{3}&{2}\end{bmatrix}$

Hallar los subespacios invariantes de $\mathbb{R}^2$ bajo F.

No he entendido nada del problema aunque supongo que al ser de dimensión 4 los subespacios invariantes son 0 y $\mathbb{R}^2$. Pero ni lo he contestado en el examen.

¿Alguien sabe en qué consiste el ejercicio?¿Qué es exactamente un subespacio invariante?

Un saludo!

[[Beto]]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Hola, un subespacio $U$ es invariante en $V$ cuando a cualquier elemento $u\in U$ le realizas una transformación $F:V\to V$ y resulta que $F(u)\in U$.

Espero que con eso ya te pueda salir el ejercicio.

[gdonoso94]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Hola, gracias por tu respuesta.

Esa definición es la que he encontrado, pero no entiendo cómo aplicarla para sacar dichos subespacios...

¿Podrías iluminarme? :P

Un saludo!

[Sheldoniano]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Todo lo relacionado con espacios invariantes termina siendo calcular autovalores, y bases de autovectores que generen el subespacio invariante, así que supongo que lo que te piden es eso, sacar autovalores y autovectores de la matriz F

[abuelillo]

Re: Hallar los subespacios invariantes

¿Alguien sabe en qué consiste el ejercicio?¿Qué es exactamente un subespacio invariante?

Si te facilita verlo geometricamente. Un subespacio invariante es el conjunto de vectores que si los multiplicas por esa matriz no cambiarian de direccion (podrian cambiar de sentido o de longitud pero no deben quedar "rotados" al multiplicarlos por la matriz, exceptuando el caso especial de rotacion de 180 grados que equivale a un cambio de sentido, pero la direccion, o pendiente del vector no varia).
De modo que si por ejemplo la matriz representase una operacion que cambia a los vectores su coordenada X a -X, es decir que cambia de signo la coordenada X, los unicos vectores que no cambiarian de direccion despues de multiplicarlos por la matriz, serian:

-Aquellos cuya coordenada X fuese cero, es decir serian todos los puntos de una recta vertical que pasase por el punto (0,0), porque quedan invariantes ante la transformacion.
-Aquellos cuya coordenada Y fuese cero, es decir una recta horizontal que pasase por el punto (0,0), estos vectores definidos por la recta cambiarian de sentido pero no de direccion.

[gdonoso94]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Todo lo relacionado con espacios invariantes termina siendo calcular autovalores, y bases de autovectores que generen el subespacio invariante, así que supongo que lo que te piden es eso, sacar autovalores y autovectores de la matriz F

Saco los autovalores y los autovectores, ¿y exáctamente cuáles son los subespacios invariantes?

Abuelillo gracias por la respuesta, pero geométricamente entiendo lo que es, el problema surge al plasmarlo analíticamente.

Un saludo!

[abuelillo]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Saco los autovalores y los autovectores, ¿y exáctamente cuáles son los subespacios invariantes?

Abuelillo gracias por la respuesta, pero geométricamente entiendo lo que es, el problema surge al plasmarlo analíticamente.

Un saludo!

Lo siento entendi que preguntabas que era un subespacio invariante.
Los subespacios invariantes son los autovectores que hayas calculado, revisa lo que son los autovectores, porque su definicion corresponde con lo que te piden calcular.

[ender550]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Buenas.

Yo lo que he hecho ha sido sacar el polinomio característico y de ahí sacar los valores propios, que me salían complejos. Al intentar sacar los vectores propios, el único que me ha salido era el vector nulo, pero no sé si estará bien.

[gdonoso94]

Re: Hallar los subespacios invariantes

Me da que lo has hecho bien, pero sigo sin saber quién eres!
Si sabes quien soy yo dime algo el lunes xD.

Gracias a todos, ya he resuelto la duda.

[ender550]

Re: Hallar los subespacios invariantes

si lo he hecho bien, tengo bien solo medio ejercicio. En uno de los autovalores complejos hice el sistema y saque el vector nulo. Pero el otro me salía igual o con una solución compleja muy fea que no me cuadraba, asi que tache esta última. Bueno, es mejor que nada xD
Aun no sabes quien soy?

Esta mañana me has preguntado que como lo llevaba en la puerta de la facultad cuando has llegado y te he respondido que creía que bien, pero que no me podía fiar o algo así.