1r ciclo Ideal bilátero del álgebra de las matrices cuadradas

[angel relativamente]

Saludos a todos. El siguiente ejercicio me trae un poco de cabeza. El profesor asegura que la resolución es sencilla, así que creo que mi obstinación es más por la carga abstracta del enunciado que por el grano que no logro despajar. Dice lo siguiente:

Si $A$ es un K-álgebra se dice que una parte $I$ de $A$ es un ideal bilátero de $A$ si es un subespacio vectorial y si cumple la siguiente propiedad: si $x\in I$ y $a,b \in A$, entonces el producto $axb \in I$. Se trata de calcular los ideales biláteros del álgebra $M_n(K)$. Si $p\in \{ 1, 2, \cdots, n\}$ indicamos por $R_p$ a la matriz que tiene todos los términos nulos salvo los $p$ primeros de la diagonal que son iguales a 1.

a) Demostrar que si $I$ es un ideal bilátero no nulo de $M_n(K)$ con cada matriz $M$ contiene a todas sus matrices semejantes. Concluir que contiene a una matriz $R_p$ para un cierto $p$.

b) Demostrar que $R_1=R_1R_p$. Concluir que $I$ contiene a todas las matrices de rango 1 y deducir que coincide con $M_n(K)$.

Para el a) tengo clara una cosa: Dos matrices $A,B$ se dicen semejantes si existe una matriz invertible $P$ tal que $PAP^{-1}=B$. Si no entiendo mal el enunciado, lo que pide en primer lugar es demostrar que $\forall M \in I$, $I$ contiene a todas las matrices semejantes de $M$. En tal caso es "trivial" la demostración, pues para toda $M\in I$ siempre existe una matriz $P\in M_n(K)$ invertible (y por tanto otra matriz $P^{-1}\in M_n(K)$) tal que $PMP^{-1} \in M_n(K)$, y en concreto $PMP^{-1} \in I$ por la definición de ideal bilátero. Como $PMP^{-1}$ es una matriz semejante a $M$, quedaría demostrado. Lo siguiente que pide no lo tengo tan claro. Sé que si dos matrices son semejantes, entonces son r-equivalentes (tienen el mismo rango). En tal caso, si $A\in I$ es una matriz de rango p, entonces existe una matriz $P$ tal que $PA$ es una matriz del tipo $\begin{pmatrix} Id_p & C \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (donde $Id_p$ es la identidad de rango p y C una matriz de dimensión $p\times (n-p)$), y existe una matriz $Q$ tal que $PAQ=\begin{pmatrix} Id_p & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=R_p$. En concreto $P$ es invertible y $P^{-1}=Q$. No obstante no estoy seguro de esto ni sabría muy bien cómo formalizarlo.


Para el apartado b), la primera cuestión es sencilla y la formalización corre de mi cuenta. La siguiente cuestión pide demostrar que $I$ contiene todas las matrices de rango 1. Ya hemos "demostrado" que toda matriz de rango p es semejante a una matriz $R_p$. Eso implica que toda matriz de rango 1 es semejante a la matriz $R_1 = E_{11}$. Por otro lado hemos visto que $I$ contiene una matriz $R_p$ para un cierto $p$, y acabamos de ver que $R_1 = R_1R_p Id_n$. Pero con todo lo dicho estoy hecho un lío, ¿cómo demuestro que contiene a TODAS las matrices de rango 1?

Lo último de deducir que coincide con $M_n(K)$ tampoco lo entiendo. ¿Hemos de ver que $I=M_n(K)$? ¿Y cómo se vería eso?


Sé que son muchas dudas y que el ejercicio, para entenderlo bien, hay que releerlo. Pero cualquier ayuda que puedan ofrecerme será enormemente agradecida.

Un saludo a todos

[ZYpp]

Re: Ideal bilátero del álgebra de las matrices cuadradas

Demostrar que si es un ideal bilátero no nulo de con cada matriz contiene a todas sus matrices semejantes.

Aquí lo has hecho bien. Si $M\in I \Rightarrow PMP^{-1} \in I$, con $P,P^{-1} \in M_n\left(K \right)$ por definición de ideal bilátero.

Concluir que contiene a una matriz para un cierto .

Aquí creo que te has colado un poco. Lo que dices es cierto bajo ciertas restricciones.
Si $M \in I$ y además es diagonalizable con espectro el conjunto de $p$ unos y $n-p$ ceros, entonces $R_p \in I$. Sin embargo, hay que demostrar que sea cual sea $I$ siempre existe alguna matriz en él que cumpla este requisito.

Demostrar que .

Trivial. Te hago caso y lo dejamos a tu cuenta.

Concluir que contiene a todas las matrices de rango 1

Esto es verdad siempre y cuando todas las matrices de rango 1 de $I$ sean diagonalizables y con $\lambda = 1$, siendo éste el único autovalor distinto de cero.

deducir que coincide con

Por último, esto no lo entiendo. Supongo que se refiere a que es un ideal bilátero (entre "muchos otros") de . De ser así, es trivial por la definición de K-álgebra.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Ideal bilátero del álgebra de las matrices cuadradas

He estado meditándolo más y le he hecho alguna consulta al profesor,

Aquí creo que te has colado un poco. Lo que dices es cierto bajo ciertas restricciones.
Si $M \in I$ y además es diagonalizable con espectro el conjunto de $p$ unos y $n-p$ ceros, entonces $R_p \in I$. Sin embargo, hay que demostrar que sea cual sea $I$ siempre existe alguna matriz en él que cumpla este requisito.

La cuestión es que recordaba un teorema (que he encontrado y es cierto) que dice que una matriz de rango p es equivalente con una que tiene todos los términos nulos salvo los p primeros de la diagonal principal que son iguales a 1. La demostración es tal como la he hecho en el primer mensaje (reducción por filas y columnas), y se explica porque toda matriz inversible es producto de matrices elementales. He encontrado también un teorema similar (7.1). No obstante, entiendo tu inciso sobre la diagonalización y no sé muy bien por qué no funciona. Técnicamente estamos diciendo que para todo endomorfismo de rango r existen unas bases tales que la matriz asociada a f es de esta forma.

Esto es verdad siempre y cuando todas las matrices de rango 1 de $I$ sean diagonalizables y con $\lambda = 1$, siendo éste el único autovalor distinto de cero.
Por último, esto no lo entiendo. Supongo que se refiere a que es un ideal bilátero (entre "muchos otros") de . De ser así, es trivial por la definición de K-álgebra.

Mi profesor me ha comentado que solo hay dos ideales biláteros para $M_n(K)$, el nulo y el propio $M_n(K)$. Para demostrar lo primero creo que iba bien encaminado, pero quizá me deje algo en la formalización. Si $I$ es no nulo existe una matriz $M\in I$ de rango p. Sabemos que $I$ contiene a todas sus matrices semejantes, por lo que en concreto contendrá a $R_p$. Y además $R_1R_pId_n = R_1 \in I$, de nuevo por la definición de ideal bilátero. $R_1$ es equivalente con todas las matrices de rango 1, y como para toda matriz de $I$ están todas las matrices equivalentes, quedaría demostrado.
Para ver que I es igual al espacio de las matrices cuadradas me han sugerido que lo haga teniendo en cuenta que toda matriz se puede poner como suma de matrices de rango 1. Sin embargo no estoy seguro de que haya definida una suma estable en $I$.

¿Algún consejo?

Muchas gracias ZYpp por tu ayuda.

Saludos

AÑADIDO: Claro que hay definida una suma estable en $I$, pues es un espacio vectorial. Creo que una formalización sería: Como en $I$ están todas las matrices de rango 1, en concreto están todas las matrices $E_{ij}$ (que son las que tienen todos los elementos nulos salvo un 1 en la posición i,j). Como una combinación lineal de estas matrices da cualquier matriz cuadrada de orden n, en concreto dan cualquier matriz de I (forman base de I) e y I=Mn(K).