1r ciclo Representación matricial de proyector

[mariolp]

Buenas tardes!

Tengo un ejercicio medio resuelto sobre proyectores el cual no entiendo muy bien, lo pongo por si alguien puede echar a una mano.

Determinar la representación matricial del proyector que proyecta sobre cada uno de los subespacios propios de los operadores que en las bases canónicas, toman la forma:

$$\left( <br /> \begin{matrix}<br /> 2 & 0 & 2 \\<br /> -2 & 0 & -2 \\<br /> 2 & 2 & 1 <br /> \end{matrix}<br /> \right)<br />$$

En el ejercicio resuelto primero obtiene los autovalores y sus correspondientes autovectores. Los autovalores son 2, 1 y 0.
Por lo tanto, un vector $\left\vert{} v\right>$ se puede descomponer como:

$$\left\vert{} v\right> = \lambda_1 \left\vert{} v_1\right> + \lambda_2 \left\vert{} v_2\right> + \lambda_3 \left\vert{} v_3\right>$$

Entonces, el espacio total $V$ puede ponerse como suma directa de tal forma que $V=V_2\oplus V_1 \otimes V_0$. Donde los subíndices la V denotan el autovalor del que son subespacio.

Ahora, dice que $P_2$, que entiendo que será la representación matricial del proyector con alguna relación con el autovalor 2 es

$$P_2 = C^{-1}\left( \begin{matrix}<br /> 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 <br /> \end{matrix}<br /> \right) C<br />$$

De donde $C^{-1}$ es la matriz que tiene como columnas los vectores propios.

Hasta ahí el ejercicio y su resolución. No entiendo muy bien por qué la matriz $C^{-1}$ son los vectores propios puestos en columnas, ni el por qué la matriz que va entre las $C$ es esa. Si tengo que hallar los proyectores $P_1$ y $P_0$ ¿qué matriz sería?, entiendo que la matriz $C$ sería la misma.

Por último una duda al margen del ejercicio pero relacionada con los autovalores y demás.
Si tengo un ejercicio físico cualquiera, por ejemplo uno de cinemática donde tengo un sistema de dos o tres ecuaciones, y obtengo los vectores y valores propios ¿qué es lo que son físicamente?

Un saludo y gracias de antemano

- - - Actualizado - - -

Nadie?

[carroza]

Re: Representación matricial de proyector

Hola.

Si estuvieras trabajando en la base de los autovectores del operador dado, el proyector sobre el primer autovalor (2 en to caso), sería la matriz
1 0 0
0 0 0
0 0 0

Como estás trabajando en una base diferente, tienes que cambiar de base, y eso lo haces con la matriz C.

Si quisieras obtener el proyector sobre el tercer autovalor (0 en tu caso), partirias de la matriz
0 0 0
0 0 0
0 0 1
y harías la misma transformación de cambio de base usando la matriz C

Saludos

[mariolp]

Re: Representación matricial de proyector

Ya veo... Muchas gracias carroza .

Sigo teniendo un par de dudas, la primera es la que está puesta al final del primer post. La segunda es: Al sacar los autovalores y autovectores estos no siguen ningún "orden", es decir, podría haber obtenido los autovalores 2, 1 y 0 pero también 0, 1 y 2, etc. Entonces ¿por qué la matriz con 1 en el elemento 11 coge el autovalor 2?

De nuevo muchas gracias!

[carroza]

Re: Representación matricial de proyector

Hola.

El significado fisico del autovalor depende del problema concreto. Pon un problema y te ayudamos con el significado.

Cuando diagonalizas una matriz, te salen los autovalores y autovectores en un orden dado. Si te salen 2,1,0, entonces 2 es el primero, 1 el segundo y cero el tercero, y en la matriz que te hace la diagonalización, el primer autovector corresponde a 2, el segundo a 1 y el tercero a cero.

[mariolp]

Re: Representación matricial de proyector

No acabo de ver el orden en que los obtengo, es decir, digamos que dada una matriz $A$, hago $det(A-\lambda I)=0$. De ahí obtengo un polinomio, pongamos que el polinomio que obtengo es, por ejemplo:

$$\lambda (\lambda-2)(\lambda-1)=0$$

De ahí, las raíces del polinomio característico y por tanto los autovalores son 0, 2 y 1.

¿Dónde veo el orden en el que salen?

Lo del significado físico del autovalor sé que es una pregunta un tanto vaga. Sé que en mecánica cuántica representa la magnitud que podemos "medir", en teoría de control son los polos de un sistema dado, en teoría de la elasticidad sirve para sacar magnitudes principales en direcciones principales, etc.

Buscaba un significado general pero veo que depende un poco del caso, es simplemente que alguna vez he visto algún ejercicio resuelto de esta manera y no acabo de ver el momento en el que hacerlo. De cualquier manera, cuando vea un ejercicio de esos ya lo postearé

Muchas gracias de nuevo!

[carroza]

Re: Representación matricial de proyector

Hola.

Si diagonalizas una matriz usando un programa de ordenador (cosa recomendable para dimensiones mayores que 2), la subrutina de diagonalización te dará autovalores y autovectores en un orden dado.

Si lo haces a mano, puedes elegir el orden que quieras para los autovalores. Pero entonces, si defines el autovalor 1 como lambda=2, tienes que buscar el autovector 1 como el que cumple $A v_1 = 2 v_1$.

Saludos

[mariolp]

Re: Representación matricial de proyector

Correcto, pero entonces ¿por qué la matriz con un 1 en el elemento 11 me escoge el autovalor 2? Yo podría haberlos obtenido en el orden 0, 1, 2 y entonces esa matriz me escogería el autovalor 0 pero obviamente el proyector no puede ser el mismo...

Un saludo

[carroza]

Re: Representación matricial de proyector

En el ejercicio resuelto primero obtiene los autovalores y sus correspondientes autovectores. Los autovalores son 2, 1 y 0.
Por lo tanto, un vector $\left\vert{} v\right>$ se puede descomponer como:

$$\left\vert{} v\right> = \lambda_1 \left\vert{} v_1\right> + \lambda_2 \left\vert{} v_2\right> + \lambda_3 \left\vert{} v_3\right>$$

Porque tu mismo me has dicho en tu enunciado que tu primer autovalor es el 2, que corresponde al autovector v_1.

[mariolp]

Re: Representación matricial de proyector

\ldotsPero ha sido el 2 como podría haber sido otro, quiero decir que en la resolución simplemente al llegar a una ecuación de tercer grado del estilo

$$(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)(\lambda - \lambda_3)=0$$

Obviamente es lo mismo que

$$(\lambda - \lambda_3)(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)=0$$

Y el orden en que yo obtengo los autovalores puede ser $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ o cualquier otro, sin embargo la matriz del proyectos sobre el espacio propio de un autovalor dado no cambia, pero si lo hace la matriz que pongo entre las matrices de cambio de base.

No sé si me estoy explicando bien...

Imaginemos esto con una matriz $2\times 2$ cuyos autovalores son 2 y 1 (por ahora sin orden).

Si yo los pongo de forma que el primero sea 2 y el segundo 1, tendré que la representación matricial del proyector sobre el espacio propio de 2 es

$$P_2=C^{-1}\left( \begin{matrix}<br /> 1 & 0 \\<br /> 0 & 0 <br /> \end{matrix}<br /> \right) C<br />$$

Si los pongo de forma que el primero sea 1 y el segundo 2, la representación matricial del proyector sobre el espacio propio de 2 será

$$P_2=C^{-1}\left( \begin{matrix}<br /> 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 <br /> \end{matrix}<br /> \right) C<br />$$

Quizás mi error está en considerar que deberían de ser iguales, o quizás lo son y hay que tener en cuenta algo más.

Un saludo

[carroza]

Re: Representación matricial de proyector

Los dos proyectores (3) y (4) son exactamente iguales, pero las matrices C de cambio de bases son distintas.
En el caso (3), la matriz C contiene la transformación a una base en que primero está el autovector del autovalor 2, y despues el del autovalor 1.
En el caso (4), la matriz C contiene la transformación a una base en que primero está el autovector del autovalor 1, y despues el del autovalor 2.

Lo pillas?

[mariolp]

Re: Representación matricial de proyector

Aaaaahora si, no había caído en que, obviamente, la matriz del cambio de base también cambiaba el orden de sus columnas!

Muchas gracias carroza