1r ciclo Duda con subespacios propios generalizados

[mariolp]

Hola buenas!

Tengo una duda con el siguiente ejercicio, a ver si pueden echar una mano:

Considerar la aplicación lineal $f:R^3 \rightarrow R^3$ definida como

$$f\left(\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2x\\<br /> -x-3y-z\\<br /> -x+4y+z<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Se pide
a) La representación matricial de f en la base canónica
b) el polinomio característico
c) el polinomio mínimo
d) los autovalores
e) los subespacios propios generalizados

Bien, el polinomio característico me sale lo siguiente

$$P_{f}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+1)^{2}$$

Ahora, para sacar el polinomio mínimo sé que tiene que tener las mismas raíces que el característico, luego puede ser

$$m_{f}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+1)$$

o

$$m_{f}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+1)^{2}$$

La idea es empezar por el de orden más bajo (el primero) y hacer

$$(A_f -2I)(A_f + I)^2$$

y comprobar si el resultado es cero, si no lo es, saltamos a la siguiente potencia.
El caso es que ninguna de las dos me sale cero por lo que no sé si es que no hay polinomio mínimo y lo que esto significaría.

Luego, en el apartado e) creo que tengo que habrá dos subespacios propios, cada uno correspondente a un autovalor, por ejemplo, el correspondiente al autovalor 2 sería, en representación matricial:

$$P_{2}=C^{-1}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}C$$

Donde $C^{-1}$ es la matriz de cambio de base pero, al sacar los autovectores para formar esta matriz sólo puedo encontrar uno asociado al autovalor 2 y otro asociado al autovalor -1, por lo que tendría que la matriz $C^{-1}$ es

$$C^{-1}=\begin{pmatrix}v_{1}^{2} & v_{1}^{1} & 0\\v_{2}^{2} & v_{2}^{1} & 0\\<br /> v_{3}^{2} & v_{3}^{1} & 0<br /> \end{pmatrix}$$

Siendo el superíndice el autovalor del cual son autovectores y el subíndice la coordenada. Esto, obviamente no es invertible por lo que no puedo obtener $P_2$ ¿He cometido algún error o hay alguna otra manera de hacer esto?

Muchas gracias y perdón por la parrafada

[alespa07]

Re: Duda con subespacios propios generalizados

Hola.

Tu equivocación es presuponer que tu endomorfismo es diagonalizable cuando no lo es. Por ello te piden los subespacios propios generalizados.

En efecto, para el valor propio [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (a mí me sale [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] para el polinomio característico pero he hecho los cáclullos en un trocito de papel así que no te fies mucho ) la multplicidad es uno con lo que tu subespacio propio coincide con el generalizado.

En cambio, para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de multiplicad $2$ ya no coinciden (y esa es la razón por la cual el endomorfismo no es diagonalizable). Si lo compruebas verás que $$Dim[Ker(M+I)]=1$$. Entonces, tienes que encontrar el subespacio propio generalizado:[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que, si no me he equivocado haciendo el cálculo a toda prisa, será [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la base canónica de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ).

Un saludo.

[mariolp]

Re: Duda con subespacios propios generalizados

Vale, estoy viendo que creía que los subespacios propios y los propios generalizados no son lo mismo, ¿cuál es la diferencia?

Respecto a lo que dices, si el subespacio propio generalizado asociado al autovalor $\lambda = 2$ coincide con el subespacio propio, ¿cómo saco este subespacio propio? creo que me encuentro de nuevo con el problema de la matriz no invertible.

Gracias y un saludo

[alespa07]

Re: Duda con subespacios propios generalizados

Hola.

Estoy currando y te estoy contestando desde la Tablet y no puedo usar LaTeX así que seré breve.

En general espacio proprio y espacio propio generalizado son distintos (sólo hace falta leer la definición de cada uno para darse cuenta de ello). No obstante coinciden cuando la dimension del subespacio propio ( a secas ) es igual a la multiplicidad del valor propio asociado.

No hay aquí ninguna relación con la invertibilidad de una matrriz pero sí con su diagonalisación.

De todas maneras, antes de atacar estos tipos de ejercicios deberías de repasar a conciencia la teoría (necesitas saber qué es cada cosa antes de poder relacionarlas y/o trabajar con ellas). Cuando lo hagas y te queden dudas sobre este ejercicio te podré ayudar con lo que necesites.

Un saludo.