1r ciclo Diagonalizar unitariamente una forma cuadrática

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente problema en el que me surge una duda básica. Dice así:

Hallar una base de $\mathbb{R}^3$ en la que la forma cuadrática
$Q(\vec{v})=(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+4x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3$
se reduzca a suma canónica de cuadrados
$Q(\vec{v})=\hat{x_1}^2+\hat{x_2}^2+\hat{x_3}^2$.
Escribir la transformacion de coordenadas $\hat{X}=P^{-1}X$ correspondiente.

Mi duda surge cuando pretendo diagonalizarla unitariamente. Se diagonalizar una forma cuadrática usando autovalores y autovectores. Para esta en concreto obtengo la siguiente matriz P y D (matriz diagonalizada):

$P=\begin{bmatrix}{1/\sqrt[ ]{3}}&{1/\sqrt[ ]{2}}&{-1/\sqrt[ ]{6}}\\{-1/\sqrt[ ]{3}}&{1/\sqrt[ ]{2}}&{1/\sqrt[ ]{6}}\\{1/\sqrt[ ]{3}}&{0}&{2/\sqrt[ ]{6}}\end{bmatrix}$

$D=\begin{bmatrix}{-3}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{bmatrix}$

Pero no se como obtener una matriz $D=I$, que es lo que me pide el problema. ¿Cómo lo hago? Muchas gracias.

[ZYpp]

Re: Diagonalizar unitariamente una forma cuadrática

La signatura de una forma cuadrática es invariante en virtud de la ley de inercia de Sylvester, por lo que si la signatura de $D$ es $\sigma = \left( 2 , 1 \right)$, entonces jamás podrás escribirla como $\hat D = I$ por muchos cambios de base que hagas.

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Actualizo:

Lo que puede ser es que te pidan que diagonalices la forma cuadrática en base a transformaciones unitarias (por ejemplo una transformación de congruencia), en vez de usar transformaciones por semejanza.

[Pepealej]

Re: Diagonalizar unitariamente una forma cuadrática

¿No tengo que encontrar una matriz $P$ tal que $I=P^T Q P$, siendo $Q$ la matriz asociada a la forma cuadrática?

[ZYpp]

Re: Diagonalizar unitariamente una forma cuadrática

Juraría que no. Sin embargo puedo estar pasando algo por alto.

[Pepealej]

Re: Diagonalizar unitariamente una forma cuadrática

Hombre, me están diciendo que lo reduzca a una suma de cuadrados. Es decir, una forma cuadrática tal que: $Q=X^T I X$, si no no me puede salir una suma de cuadrados tal que $Q(\vec{v})=\hat{x_1}^2+\hat{x_2}^2+\hat{x_3}^2$, ¿no?

[[Beto]]

Re: Diagonalizar unitariamente una forma cuadrática

¿No tengo que encontrar una matriz $P$ tal que $I=P^T Q P$, siendo $Q$ la matriz asociada a la forma cuadrática?

Si tienes que hacer eso, ese P es por lo general una matriz unitaria (una rotación) que se elige de tal manera que la matriz queda diagonalizada, eso te garantiza que el final tengas una suma de términos cuadrados y los términos cruzados desaparezcan.