1r ciclo Calcular valor propio y estudiar diagonalización

[angel relativamente]

Saludos compañeros, tengo aquí otro ejercicio que se me resiste. Dice lo siguiente:

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3n con coeficientes reales de rango 2n tal que $A^3=-A$. Demostrar que 0 es un valor propio de A de multiplicidad n y que $A$ es semejante a la matriz:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_n \\ 0 & -I_n & 0 \end{pmatrix}$$

Estudiar si A diagonaliza sobre $\mathbb{C}$.

Lo primero es sencillo según lo veo. Tenemos $\text{rg} \; A = 2n \Rightarrow \dim \ker A = n$, lo cual implica que 0 es un autovalor de multiplicidad n. Por otro lado:

$A^3= - A \Leftrightarrow A(A^2 + I)=0$, por lo que el polinomio $x(x^2+1)$ es un polinomio anulador de A y $m_f(x) \vert x(x^2+1)$. Y como A es no trivial y 0 un valor propio, necesariamente $m_f(x)=x(x^2+1)$.
Claramente la matriz es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$, pues $m_f(x)=x(x+i)(x-i)$, y sabemos que lo es si el mínimo se expresa como producto de factores lineales distintos. Donde me trabo es a la hora de hallar la semejanza con la matriz del enunciado.

¿Alguna idea de por dónde agarrarlo?

Un saludo y muchas gracias de antemano

[alespa07]

Re: Calcular valor propio y estudiar diagonalización

Hola.

Estudia el polinomio mínimo del endomorfimo asociado a $A$. Observa que, entonces, $i$ y $-i$ son valores propios de multiplicidad $n$ y reordena la base de los subespacios propios para obtener la matriz que te dan.

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Calcular valor propio y estudiar diagonalización

No entiendo, alespa07. La matriz diagonal asociada tiene valores complejos. En concreto, si $\{ e_1^1 , \cdots, e_n^1 \}$ es una base de $\ker A$, $\{ e_1^2 , \cdots, e_n^2 \}$ una base de $\ker (A-iI_n)$ y $\{ e_1^3 , \cdots, e_n^3 \}$ una base de $\ker (A+iI_n)$, la matriz diagonal en la base $\{ e_1^2 , \cdots, e_n^2 , e_1^3 , \cdots, e_n^3 , e_1^3 , \cdots, e_n^3 \}$ es $D= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & iI_n & 0 \\ 0 & 0 & -iI_n \end{pmatrix}$. Reordenando las bases, no sé cómo puedo obtener algo similar a la matriz del enunciado.

Saludos y muchas gracias por tu respuesta

[alespa07]

Re: Calcular valor propio y estudiar diagonalización

No entiendo, alespa07. La matriz diagonal asociada tiene valores complejos. En concreto, si $\{ e_1^1 , \cdots, e_n^1 \}$ es una base de $\ker A$, $\{ e_1^2 , \cdots, e_n^2 \}$ una base de $\ker (A-iI_n)$ y $\{ e_1^3 , \cdots, e_n^3 \}$ una base de $\ker (A+iI_n)$, la matriz diagonal en la base $\{ e_1^2 , \cdots, e_n^2 , e_1^3 , \cdots, e_n^3 , e_1^3 , \cdots, e_n^3 \}$ es $D= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & iI_n & 0 \\ 0 & 0 & -iI_n \end{pmatrix}$. Reordenando las bases, no sé cómo puedo obtener algo similar a la matriz del enunciado.

Saludos y muchas gracias por tu respuesta

Hola. Me refería a que sabes que, por ejemplo, $i$ es valor propio de $A$ con multiplicidad $n$: Entonces, si $\left\{ u_1,...,u_n \right\}$ es una base del subespacio propio puedes considerar la familia de vectores $\left\{ f^2(u_1),...,f^2(u_n) \right\}$.

Supongo que podrás concluir.

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola angel!

Pudiste acabar?

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Calcular valor propio y estudiar diagonalización

Hola alespa07, muchas gracias por la ayuda prestada. A ver si lo he entendido:

Con la notación que he usado en mi anterior mensaje, teníamos que $\{ e_1^1 , \cdots, e_n^1 , e_1^2 , \cdots, e_n^2 , e_1^3 , \cdots, e_n^3 \}$ era una base de $D$ y se cumplía que $f(e_j^1)=0, \; f(e_j^2)=ie_j^2, \; f(e_j^3)=-ie_j^3$, con j entre 1 y n. He pensado que podemos considerar la base $\{ e_1^1 , \cdots, e_n^1 , f(e_1^3) , \cdots, f(e_n^3) , f^3(e_1^2) , \cdots, f^3(e_n^2) \}$$=\{ e_1^1 , \cdots, e_n^1 , -ie_1^3 , \cdots, -ie_n^3 , -ie_1^2 , \cdots, -ie_n^2 \}$, donde ahora se cumple que $f(e_j^1)=0, \; f(-ie_j^3)=-e_j^3, \; f(-ie_j^2)=e_j^2$.

¿Está bien justificado esto?, ¿cómo demuestro que la matriz en esta base es semejante a A?

Muchas gracias de nuevo,

Un saludo, Ángel

[alespa07]

Re: Calcular valor propio y estudiar diagonalización

Hola Ángel.

Estaba preparando la respuesta a tu pregunta cuando me di cuenta de un dato del problema y todo se fue al traste . TE dejo en azúl lo que había empezado (ya que lo he hecho y para que entiendas porque está mal en este caso):

Cambiaré un poco tu notación para que quede más claro.

Sean $e_1,...,e_n$ los vectores propios asociados a la valor propio $\lambda=0$ (o sea una base del núcleo), sean $u_1,...,u_n$ los vectores propios asociados a la valor propio $\lambda=i$ y sean $w_1,...,w_n$ los vectores propios asociados a la valor propio $\lambda=-i$. (Aquí he asumido que ya has mostrado que estos valores son propios de $f$ de multiplicidad $n$ y que los subespacios propios son de dimensión $n$ con lo que el endomorfismo asociado a $A$ diagonaliza)

Llamemos también

$A'=\begin{pmatrix} 0_n&0_n&0_n \\0_n&0_n&I_n\\0_n&-I_n&0_n\end{pmatrix}$

Finalmente, llamamos $f$ el endomorfismo asociado a $A$ en la base canónica.

Para mostrar que $A$ es semejante a $B$ basta con encontrar una base en la que la matriz asociado a $f$ sea $A'$.

Ahora es cuando usas lo que te dije en mi anterior post.

Consideremos la familia de vectores $B=\{e_1,...,e_n,f^2(u_1),...,f^2(u_n),if^3(u_1),...,if^3(u_n)\}$. Ante todo tienes que mostrar que se trata de una base (es fácil mostar que es libre, si no lo ves pregunta y te ayudaré).

Una vez que has mostrado que es una base procedes a encontrar la matriz de $f$ en dicha base, o sea $Mat_{B}(f)$.

Las $n$ primeras columnas son obviamente nulas ya que $f(e_k)=0$, $k\in\{1,..,n\}$.

De la columna $n+1$ hasta la columna $2n$ tenemos $f(f^2(u_k))=f^3(u_k)$, $k\in\{1,..,n\}$.

De la columna $2n+1$ hasta la columna $3n$ tenemos $f(if^3(u_k))=if(-f(u_k))=-if^2(u_k)$.

Entonces, no me acuerdo por quñe razón pero volví a leer tu post original y me fijé en que estabas trabajando con matrices de coeficientes reales. Me parece que me he cargado el click derecho del ratón del cabreo que pillé xD.

No obstante, cuando volví a plantearme el problema me dí cuenta de que algo de lo que había hecho podía usarse pero en un contexto diferente.

Lo que te propongo, pues es que examines la famila de vectores $\{e_1,...,e_1,f(u_1),...,f(u_n),f^2(u_1),...,f^2(u_n)\}$ donde ${u_1,...,u_n}$ son $n$ vectores linealmente independientes que no pertenecen al núcleo de $f$.

Si se consiguiera mostrar que dicha famila de vectores es una base de $\mathbb{R}^{3n}$ entonces creo que tu problema estaría resuelto.

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Calcular valor propio y estudiar diagonalización

Muchas gracias por todo, alespa07. Respondí en base a lo que me dijiste, sacándomelo un poco de la manga, y no obtuve mala calificación. No obstante, el profesor comentó una cosa sobre el ejercicio que quizá sea de interés para un futuro lector del hilo:
La forma canónica de Jordan compleja de esta matriz es la diagonal con los valores propios, y su matriz real de Jordan asociada es a la que le tenemos que buscar la semejanza. No se me ocurrió verlo por ahí, ya que de parte real de Jordan solo lo vimos para el caso 2 por 2, pero en este caso es sencillo si lo restringes a la matriz de rango 2n que tiene solo valores complejos (uno conjugado del otro) y la tomas como una matriz por bloques 2x2.

Saludos