1r ciclo Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

[InesIncinerate]

¡Buenas!
Veréis, ando muy ofuscada con un ejercicio de álgebra; no sé cómo resolverlo de manera que no me lleve una vida y media hacerlo. El enunciado es el siguiente:

Sea ($e_1, e_2, e_3$) una base del espacio euclidiano $R^3$ que cumple:


$\left\vert{} \left\vert{} e_1 \right\vert{} \right\vert{} = 3$, $\left\vert{} \left\vert{} e_2 \right\vert{} \right\vert{} = 2$, $\left\vert{} \left\vert{} e_3 \right\vert{} \right\vert{} = 1$

$e_1e_2 = 2$, $e_2e_3 = 0$, $e_1e_3 = 0$


Primero me pide que defina la matriz del producto escalar en esta base, para lo que en principio no he tenido dudas. Pero luego, y aquí viene el problema, tengo que calcular el ángulo que forman los vectores definidos por $u_1 = e_1-e_2$ y $u_2 = e_2-e_3$, el cual no sé por donde coger, porque no tengo las componentes de los vectores e de la base, y por su norma sé que el único unitario es $e_3$. Entonces, como la definición del coseno del ángulo es el producto escalar de los dos vectores unitarios, ¿qué manera tengo de calcular sus componentes para dividirlos por sus respectivos módulos y poder resolverlo?

[alespa07]

Re: Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

Hola.

Has probado ortonormalizar la base?

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola de nuevo.

Entonces, como la definición del coseno del ángulo es el producto escalar de los dos vectores unitarios...

No he mirado mucho el problema pero ¿estás seguro de lo que dices?

Un saludo.

[InesIncinerate]

Re: Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

A la hora de ortonormalizar la base me encuentro con el mismo problema, que no conozco ninguna componente. Puedo hacer cálculos varios con las normas de los vectores, pero no veo cómo legar a sacar las primeras y me quedo en planteamientos donde arrastro toda la notación teórica.

Respecto a lo del coseno del ángulo, creía que era así. Tengo anotado que es igual al producto escalar de los dos vectores dividido por el producto de sus normas. ¿Eso no los convierte en unitarios?

[alespa07]

Re: Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

Hola.

Lo que hemos pasado por alto aquí es que la matriz del producto escalar te la piden en la base $\left\{ e_1,e_2,e_3 \right\}$. Entonces, las componentes de estos vectores en esta base son $\left\{\left( 1,0,0 \right)^t , \left( 0,1,0 \right) ^t , \left( 0,0,1 \right)^t \right\}$.

Entonces, el problema se vuelve sencillo como podrás comprobar.

un saludo.

[Physicist]

Re: Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

Muy buenas:
Tengo el mismo problema y no se por donde plantearlo. Si pones que los vectores "e" sean la base canónica, no se cumple las propiedades que te dice el problema, pues te da la norma de $e_1, e_2, e_3$ siendo estas 3, 2, 1 respectivamente y para la canónica no se cumple

[alespa07]

Re: Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

Muy buenas:
Tengo el mismo problema y no se por donde plantearlo. Si pones que los vectores "e" sean la base canónica, no se cumple las propiedades que te dice el problema, pues te da la norma de $e_1, e_2, e_3$ siendo estas 3, 2, 1 respectivamente y para la canónica no se cumple

Si se cumplen. Esto es porque trabajas en la base $\{e_1,e_2,e_3\}$ entonces tienes que calcular la norma de estos vectores usando el producto escalar en dicha base.

Si llamas $B$ la matriz del producto escalar en la base $\{e_1,e_2,e_3\}$ y calculas, por ejemplo, $e_1\cdot e_1=e_1^t B e_1$ debes de obtener $e_1\cdot e_1=9$ con lo que su norma es 3.

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola de nuevo.

Ya que calculé la matriz del producto escalar he resuleto el problema y, salvo equivocación de cálculos que he hecho a toda prisa, os debería de salir que el ángulo es 143,1º.

Un saludo.

[InesIncinerate]

Re: Calcular un ángulo a partir de una base de vectores de componentes desconocidas

Muchas gracias por tu respuesta, la lógica me ha engañado en este ejercicio. Aplicando la teoría estricta sí que da. Resuelto pues.