1r ciclo Cálculo de integrales con formas bilineales.

[gdonoso94]

Hola, haciendo los ejercicios que manda mi profesor de álgebra me he topado con uno que no sé resolver, dice así:

Calcular las siguientes integrales: (sólo copio una, quiero un modelo, no el resultado de todas xD )

$$\dst \iint_{R^2}e^{-(5x^2-4xy+5y^2)}\dd x\dd y$$

¿¡Cómo se resuelve esa cosa!?

Un saludo!

[[Beto]]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Hola, en este caso al resolver la integral el término que da problemas es el que contiene los términos cruzados $xy$, entonces lo que puedes hacer es una rotación de coordenadas para eliminar ese término.

[gdonoso94]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

¿Y cómo realizo dicha rotación?

[[Beto]]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Como toda buena rotación de coordenadas:

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}<br />$$

y eliges el ángulo $\theta$ de manera que los productos cruzados se anulen, luego será más fácil resolver la integral ya que serán dos integrales de gausianas, una respecto a $y$ y la otra respecto a $x$

[gdonoso94]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Ya, eso lo sabía, el problema lo encuentro al determinar el ángulo de manera que los productos cruzados se anulen. ¿Hay alguna manera de saberlo?

[[Beto]]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Claro, reemplaza el cambio de variable en $5x^2-4xy+5y^2$ y tendrás algo de la forma $5(x\cos\theta-y\sin\theta)^2-4(x\cos\theta-y\sin\theta)(x\sin\theta+y\cos\theta)+5(x\sin\theta+y\cos\theta)^2$, desarrollas todo y el coeficiente que acompañe a $xy$ debe ser cero, de esa condición encuentras el valor del ángulo, debes llegar a que $\tan2\theta=\text{algo}$

[gdonoso94]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Vale, ¿y después cómo hago la integral? He estado investigando por ahí y se supone que tengo que hacer diagonal la matriz de la forma bilineal... o algo así. ¿Van por ahí los tiros?

Saludos!

[[Beto]]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Pues una vez que tienes el valor de $\theta$ lo único que te queda es reemplazar en la integral y ya no tendrás términos cruzados ($xy$), integra como de costumbre ya que como solo haz realizado una rotación $\dd x\dd y=\dd x'\dd y'$, tendrás un producto de integrales gaussianas (una para $y$ y otra para $x$) cuya forma de resolver es conocida.

Un saludo.

[carlosphy]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Otra forma de hacerlo es partiendo de que el valor de la integral de e^(-x^2) es pi. Lo que tienes en el problema es un polinomio definitivo positivo que se comporta como esta integral conocida. Transformas el polinomio en una suma de cuadrados, haces un cambio de variable y luego integras con respecto a estas nuevas variables.

[[Beto]]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Otra forma de hacerlo es partiendo de que el valor de la integral de e^(-x^2) es pi. Lo que tienes en el problema es un polinomio definitivo positivo que se comporta como esta integral conocida. Transformas el polinomio en una suma de cuadrados, haces un cambio de variable y luego integras con respecto a estas nuevas variables.

... pero te puedes dar cuenta que al completar cuadrados no se eliminan los términos cruzados, por eso primero se hace una rotación y luego se completan cuadrados y seguir como indicas.

Un saludo.

[gdonoso94]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Beto pero si diagonalizas por congruencia la matriz de esa forma bilineal, se eliminan los términos cruzados, ¿no valdría con eso para anularlos?

[[Beto]]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Beto pero si diagonalizas por congruencia la matriz de esa forma bilineal, se eliminan los términos cruzados, ¿no valdría con eso para anularlos?

Si claro, con eso se eliminan los términos cruzados, pero luego de todas formas tienes que completar cuadrados respecto a cada una de las variables y finalmente integral las dos integrales gaussianas que quedan.

El realizar una rotación para eliminar los términos cruzados es equivalente a diagonalizar la matriz de la forma cuadrática.

[gdonoso94]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales.

Perfecto, mil gracias.