1r ciclo Espacio dual de polinomios

[Physicist]

Muy buenas:

Tratando con espacios vectoriales de polinomios me ha surgido una duda. Si dicen que consideremos el conjunto de polinomios de R[x] de grado $\dst\leqslant 2$, ¿el espacio que generan es de dimensión 3?

De ser así, ¿la base dual de $\dst (1,x,x^2)$ definida de cierta manera podría ser (0,1,2)?
Es que el 0 que sale me trae problemas con la independencia lineal...

Si necesitáis que ponga como está definida la base dual en este caso decidme que la pongo.

Gracias!

[InesIncinerate]

Re: Espacio dual de polinomios

A mí también me interesa este problema en concreto. La condición que nos dan es que las formas lineales de los polinomios pertenecientes a $P_3$, convierten éstos a un escalar mediante la operación $\frac{\partial P}{\partial x}$, con x=1.

Entonces planteo el sistema de la siguiente forma:
$(\alpha+\beta+\gamma)(\frac{\partial P}{\partial x})=0$
para todo P de la forma: $P(x)=ax^2+bx+c$, con $\frac{\partial P}{\partial x}=2ax+b$,
y parto de que la x siempre tiene que ser igual a 1, para cualquier polinomio al que se aplica la transformación, o sea que lo único que consigo es un sistema indeterminado del que solo logro sacar $\alpha=-\beta-\gamma$, e imponiendo que $\alpha=0$, $-\beta=\gamma$. Mi pregunta es: ¿puedo afirmar que la base de la dual es de la forma $(0,1,-1)?$ ¿o estoy incurriendo en un montón de falacias?

La cabeza ya no da de sí después de tantas horas...

[alespa07]

Re: Espacio dual de polinomios

Hola.

¿Seguís necesitando ayuda con el ejercicio? He estado fuera unos días y no sé si vale la pena que le dedique tiempo si ya lo habeis resuelto en clase por ejemplo.

Un saludo.

[guibix]

Re: Espacio dual de polinomios

¿Seguís necesitando ayuda con el ejercicio? He estado fuera unos días y no sé si vale la pena que le dedique tiempo si ya lo habeis resuelto en clase por ejemplo.

Si tienes una respuesta que no se haya dicho es mejor que la escribas. Más que nada por si en adelante alguien tiene la misma duda.