1r ciclo Matriz de rotación

[carlosphy]

Hola a todos. Estoy teniendo un problema con una parte de este ejercicio que no entiendo. El enunciado dice así.

Dada la matriz F diga si corresponde a una rotación en R3 y calcule el eje de rotación y el ángulo de giro.

Entiendo la primera parte: calcular el determinante que debe ser 1 y comprobar que sea conmutativa (normal), por lo tanto corresponde a una rotación y la imagen es un subespacio invariante bajo la transformación.

Lo que no entiendo es cómo se obtiene el vector columna U y como se saca el eje. Segun el ejercicio está compuesto por las normas de los vectores de F pero a mi me da que todos son 1 y una norma siempre es positiva y en el ejercicio hay un -3 . Quizá sea alguna fórmula que no conozco.

Lo pongo como enlace para no descuadrar la pantalla http://i.imgur.com/eizoCE6.jpg?1

Gracias!

[InesIncinerate]

Re: Matriz de rotación

¡Hola! Justo me acabo de examinar de lo mismo... Para sacar el eje, debes buscar los valores propios de la matriz mediante el polinomio característico y para el valor +1, que te tiene que salir seguro, calculas el vector propio. Ése será el eje mismo de la rotación.

En cuanto al ángulo, para las matrices en R3, la traza siempre va a ser: $tr(A)=1+2cos(\varphi)$, puesto que es inmune a las rotaciones. Pues sumas los valores que tienes en la diagonal y los igualas a $tr(A)$ para obtener el ángulo.

[carlosphy]

Re: Matriz de rotación

¡Hola! Justo me acabo de examinar de lo mismo... Para sacar el eje, debes buscar los valores propios de la matriz mediante el polinomio característico y para el valor +1, que te tiene que salir seguro, calculas el vector propio. Ése será el eje mismo de la rotación.

En cuanto al ángulo, para las matrices en R3, la traza siempre va a ser: $tr(A)=1+2cos(\varphi)$, puesto que es inmune a las rotaciones. Pues sumas los valores que tienes en la diagonal y los igualas a $tr(A)$ para obtener el ángulo.

Estoy intentando calcular el vector propio con respecto al autovalor 1 a mano pero no obtengo el resultado. Resto a los elementos diagonales 1 y obtengo la matriz.

( 7 1 -4)
(-4 3 -7)
(1 8 3)

Se puede ver que la primera ecuación es 7x + y - 4z= 0 y la solución (x,y,z)=(-3,1,1) no la satisface. En el orden (x,y,z)=(1,-3,1) sí la satisface pero no lo hace para las demás ecuaciones.Puede que esté cometiendo un error tonto pero no lo veo. Wolfram me dice que efectivamente (-3,1,1) es el vector propio pero no sé como llega a eso, hasta ahora he resuelto todos los ejercicios de este modo.

Y aún no me ha quedado claro cómo se saca el eje, se supone que es el valor distinto de 1 del vector propio? en este caso x.

Gracias.

[carroza]

Re: Matriz de rotación

Hola.

Como tu matriz es 1/9 por la expresión que has puesto, al restar 1 te queda:

(-1 1 -4)
1/9 (-4 -5 -7)
(1 8 -5)

Esto lo multiplicas por (x, y, z), columna, y el resultado te debe dar cero. la dirección de x,y,z es la del eje invariante frente a rotaciones, que es el eje de rotación.

Saludos

[carlosphy]

Re: Matriz de rotación

Hola.

Como tu matriz es 1/9 por la expresión que has puesto, al restar 1 te queda:

(-1 1 -4)
1/9 (-4 -5 -7)
(1 8 -5)

Esto lo multiplicas por (x, y, z), columna, y el resultado te debe dar cero. la dirección de x,y,z es la del eje invariante frente a rotaciones, que es el eje de rotación.

Saludos

Gracias, estaba considerando el autovalor 1 sin el 1/9. Entonces siendo el vector propio (x,y,z)=(-3,1,1) los ejes invariantes serían (y,z)? Según la matriz de rotación con senos y cosenos sería el eje x. Gracias otra vez.

[carroza]

Re: Matriz de rotación

No, si el vector propio es (-3, 1, 1), el eje de rotación es $\vec u = -3 \vec u_x +1 \vec u_y + 1 \vec u_z$.

[carlosphy]

Re: Matriz de rotación

Según Wikipedia estas son las matrices correspondientes a rotaciones referidas a los ejes x, y, z respectivamente.



No sé cómo en el ejercicio construye la matriz con los cosenos y senos que corresponde a una rotación con respecto al eje x. No sé cómo pasa de ese eje de rotación (-3,1,1) a la matriz. O quizá esté mal.

[Physicist]

Re: Matriz de rotación

Muy buenas:

Esas matrices son rotaciones sobre los ejes x, y, z "puros". En tu caso tienes otro eje, así que tendrás una matriz de rotación con cosas diferentes dentro.
Para hallarla lo primero es obtener una base ortogonal teniendo como primer vector tu eje de rotación. Usa el método de Grand-Schmidt o el que quieras.
Después tendrás que hacer un cambio de base de la canónica, que es donde esa expresadas esas matrices, a la base que acabas de hallar. El proceso es:

$\dst A = P^t RP$

Donde P son los vectores de tu base puestos por columnas, R una de las matrices de rotación "puras" y A la matriz con tu eje de rotación. Cual es la R depende de en que columna coloques tu vector de rotación.
Si lo haces en la primera usa $\dst R_x(\theta)$, si lo colocas en la segunda $\dst R_y(\theta)$ y si es en la tercera $\dst R_z(\theta)$.

Un saludo!

[carlosphy]

Re: Matriz de rotación

Muy buenas:

Esas matrices son rotaciones sobre los ejes x, y, z "puros". En tu caso tienes otro eje, así que tendrás una matriz de rotación con cosas diferentes dentro.
Para hallarla lo primero es obtener una base ortogonal teniendo como primer vector tu eje de rotación. Usa el método de Grand-Schmidt o el que quieras.
Después tendrás que hacer un cambio de base de la canónica, que es donde esa expresadas esas matrices, a la base que acabas de hallar. El proceso es:

$\dst A = P^t RP$

Donde P son los vectores de tu base puestos por columnas, R una de las matrices de rotación "puras" y A la matriz con tu eje de rotación. Cual es la R depende de en que columna coloques tu vector de rotación.

Si lo haces en la primera usa $\dst R_x(\theta)$, si lo colocas en la segunda $\dst R_y(\theta)$ y si es en la tercera $\dst R_z(\theta)$.

Un saludo!

Gracias. Supongo que sólo estaba puesta para ilustrar la ecuación de 1+ 2 cos (theta) = tr F. La matriz de rotación siempre tiene un sólo autovalor y ha de ser 1? O puede tener más? Porque si tiene más autovalores generaría otro subespacio propio y no sé como encajaría eso para calcular el eje.

[Physicist]

Re: Matriz de rotación

Puede que te salgan más, pero el valor 1 siempre estará y es el que te define el eje.

[carlosphy]

Re: Matriz de rotación

Gracias. Y supongo que un autovalor de -1 define una rotación en sentido contrario, verdad? Siento preguntar tantas cosas pero en los libros que he estado consultando pasan por este apartado muy rápido.

[Physicist]

Re: Matriz de rotación

jaja tienes exactamente las mismas dudas que yo hace dos semanas antes del examen
Un autovalor de -1 define una simetría, no una rotación inversa. Cuando halles el eje será de simétrica (seguramente simetría especular).

[carlosphy]

Re: Matriz de rotación

Ahora todo más claro jaja . Muchas gracias!