1r ciclo Cambio de base. Duda conceptual

[gdonoso94]

Hola, tengo un par de dudas sobre los cambios de base. Supongamos que tenemos dos bases $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $\hat{B}=\{u_1,u_2,u_3\}$. Bien, me dicen que la segunda base está dada por:

$u_1=v_1+v_2+v_3$

$u_2=v_1+v_2+3v_3$

$u_1=-v_1+2v_2+9v_3$

Por tanto la matriz de cambio de base de $\hat{B}\to B$ estaría dada por:

$M_{\hat{B}\to B}\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&2\\1&3&9\end{pmatrix}$

¿Eso es cierto? Tengo unos problemas resueltos por profesores de mi facultad que pone que es la inversa, y no entiendo el por qué.

Por otra parte, si me dan las bases $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $\hat{B}=\{u_1,u_2,u_3\}$, la matriz de cambio de base de esa base a la canónica viene dada por los vectores de cada base en columnas. Ahora bien, tenemos que: (siendo C la base canónica)

$M_{B\to C}\cdot (x)_B = (x)_C$

$M_{\hat{B}\to C}\cdot (x)_{\hat{B}} = (x)_C$

Igualando ambas obtengo:

$M_{B\to C}\cdot (x)_B =M_{\hat{B}\to C}\cdot (x)_{\hat{B}}$

Si multiplico a la izquierda en ambos lados por $M_{\hat{B}\to C}$, tengo que:

$M_{C\to \hat{B}} \cdot M_{B\to C}\cdot (x)_B = (x)_{\hat{B}}$

Donde $M_{C\to \hat{B}}$ es la inversa de $M_{\hat{B}\to C}$.

Si ahora llamo a $M_{C\to \hat{B}} \cdot M_{B\to C} = M'$, esa $M'$ sería la matriz de cambio de base de $B\to\hat{B}$, ¿no? Resulta que según otro ejercicio resuelto es la inversa justamente la que es el cambio de base de $B\to\hat{B}$. ¿Alguien puede explicarme qué hago mal?

Gracias.

[carlosphy]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

Hola. La matriz define el cambio de base de B a B' ( B tilde en este caso). La fórmula matricial de ese cambio de base es B'=P*B. Creo que es así, la verdad es que tampoco estoy muy seguro ya que este tema es el que llevo peor con diferencia.

Y con respecto a la segunda duda creo que tendrías que hacer un circuito de bases desde B->C y de C->B'. A ver si aparece alguien y nos ayuda.

[gdonoso94]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

¿Pero por qué define ese cambio de base? Si los vectores de la base $\hat{B}$ están en función de los de $B$.

Saludos, y gracias

[carlosphy]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

Los vectores de están en función de . en la expresión matricial y analítica. B'=P*B y aquí debería ser de B->B' .No lo había visto.

Lo que pasa es que coloquialmente imaginamos que si pasamos de B a B' la expresión sería algo así B*A=B' cuando es B'=A*B. Por lo menos me pasaba a mi al principio.

Pero mejor que nos lo diga alguien que realmente lo entienda todo bien jaja.

[abuelillo]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

A ver si con algunas operaciones sale algo en claro, no recuerdo mucho de Algebra Lineal solo estoy deduciendo un poco, mi memoria se va disipando por falta de uso , asi que si me equivoco en algo o en todo que alguien me corrija:

Dadas dos bases vectoriales expresadas en forma de matrices A y B la matriz cambio de base de A a B seria una matriz M en la que las columnas corresponden a los vectores de la base B expresados en funcion de la base A.
Eso significa que podemos usar la matriz para transformar A en B, pero NO es lo mismo que decir que la matriz cambia vectores expresados en la base A a vectores expresados en la base B.

Por definicion de la matriz cambio de base tenemos:

$AM = B$

De modo que gracias a M podemos convertir A en B, pero las coordenadas tanto de A como de B son coordenadas canonicas, todavia no tenemos ningun vector expresado en ninguna base ni de A ni de B (exceptuando los vectores de la matriz M).

Lo que queremos hacer es dado un vector $\vec{v}$ expresado en la base canonica, del que sabemos sus coordenadas en la base A llamemosle a esas coordenadas $\vec{a}$, calcular las coordenadas de ese mismo vector expresadas en la base B llamemosle a estas coordenadas $\vec{b}$
Es decir tenemos lo siguiente:

$\vec{v} = A\vec{a} = B\vec{b}$

Y queremo calcular $\vec{b}$. Hacemos una sustitucion de B con la formula de arriba:

$A\vec{a} = AM\vec{b}$

Multiplicamos ambos lados por la inversa de A para cancelar A con lo que nos queda:

$\mathbf{ \vec{a} = M\vec{b} }$

Con lo que hemos demostrado que M sirve para cambiar vectores de la base B a la base A (justo lo contrario de lo que significa matriz cambio de base de A a B).
Y para hacer lo que nos interesa (cambiar vectores de base A a B) multiplicamos ambos lados por la inversa de M y tenemos:

$M^{-1 }\vec{a} = M^{-1 }M\vec{b}$

Con lo que finalmente tenemos que M y su inversa se anulan dando la matriz identidad asi que nos queda

$\mathbf{ M^{-1 }\vec{a} = \vec{b} }$

Por fin hemos llegado a que para convertir vectores de la base A la base B tenemos que usar la INVERSA de M.

Creo que comentabais algo de multiplicar por la izquierda a la matriz en lugar de por la derecha, eso funciona de casualidad para basse ortogonales, ya que si tenemos bases ortogonales la inversa es igual a la transpuesta, eso hace que multiplicando un vector por la izquierda nos cambie de la base A a la base B (pero solo porque en realidad estariamoss multiplicando por su transpuesta=inversa) y multiplicando por la derecha nos cambie de base B a base A.

[gdonoso94]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

¿Podrías contestar ciñéndote a los ejemplos que yo he puesto? ¿La matriz que he escrito sería de cambio de base de B' a B o al revés?

[abuelillo]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

¿Podrías contestar ciñéndote a los ejemplos que yo he puesto? ¿La matriz que he escrito sería de cambio de base de B' a B o al revés?

Si no me confundo, la matriz de tu ejemplo, convierte coordenadas de vectores en base B' a coordenadas de vectores en base B.
Lo que pasa es que hay autores que a esa matriz le llaman matriz de cambio de base de B -> B' es decir al reves, porque es lo que realmente hace la matriz con las bases vectoriales, permite calcular B' a partir de B, es decir en tu ejemplo:

$MB = \hat{B}$

Y seria la matriz de cambio de base de B -> B', pero si quieres convertir vectores de B -> B' tendrias que usar la inversa de la matriz.

Todo es cuestion de la definicion que se use para la matriz, los profesores que comentas usan la definicion de matriz cambio de base que acabo de comentar.

[gdonoso94]

Re: Cambio de base. Duda conceptual

Mil gracias. Será una cuestión de lenguaje más que matemático.

Saludos.

P.D: Si alguien más tiene algo que objetar... Ya sabe :P.