1r ciclo Cálculo de integrales con formas bilineales

[Pepealej]

Hola, tengo unos ejercicios resueltos que no consigo entender. Utilizan formas bilineales para resolver integrales. ¿Alguien puede explicarme qué están haciendo? Gracias.

1. $\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} e^{-(5x^2-4xy+5y^2)} dxdy$

Se sabe que $\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}=\pi$, por métodos de cálculo en 2 variables. Por tanto, la integral es igual a:

$\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} e^{-X^T \Omega X}$, donde $\Omega =\begin{bmatrix}{5}&{-2}\\{-2}&{5}\end{bmatrix}$

Dado que $\hat{\Omega}=X^T \Omega X$ (cambio de base en una aplicación bilineal), se tiene que $\Omega=\hat{X^T}\hat{\Omega}\hat{X}$. Por tanto:

$\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} e^{-\hat{X^T}\hat{\Omega}\hat{X}} d\hat{x}d\hat{y}$

Hasta aquí lo entiendo todo perfectamente. Es en este paso cuando me pierdo. No se porque lo hace ni cuál es la equivalencia.

$det(P) \displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} e^{-\hat{X^T}\hat{X}} d\hat{x}d\hat{y}=\pi \det(P)$

Dado que $\hat{\Omega}=P^T \Omega P$, esto implica $1=(det(P))^2 det(\Omega)$, de donde: $det(P)=\frac{1}{\sqrt{det(P)}}$.

Por tanto, la integral es: $\pi \displaystyle \frac{1}{\sqrt{det(\Omega)}}=\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{21}}$.


¿Alguien podría explicarme qué hace a partir del paso que indico? Gracias

[carlosphy]

Re: Cálculo de integrales con formas bilineales

Yo tampoco lo entiendo muy bien. Ese ejercicio lo tengo resuelto de otro modo por si te sirve. Se parte de que la integral doble de e^(-x^)2 es pi, luego se expresa el exponente como una suma de cuadrados, haces un cambio de variable e integras.