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Hola a todos,
Releyendo "The Fractal Geomety of Nature" (de Benoit B. Mandelbrot) respecto al problema de la medida de la longitud de una costa, me vino en mente un par de dudas. Entiendo que el problema no tiene solución práctica y surge el concepto de "dimensión fractal" para al menos saber cuanto cambia la medida de la costa al cambiar el tamaño de la regla con la que la medimos. O lo que es lo mismo, da una medida de la "rugosidad" de la costa.
La dimensión fractal es un límite en donde la longitud de la trayectoria de la costa se vuelve infinita. Es una constante para cada fractal, pero como medida de la rugosidad, no debería ser constante en todas las escalas para las formaciones naturales. Puede haber una costa muy suave a muchas escalas y de repente, a partir de cierta escala, se vuelve muy rugosa y caótica. Esto debe "obligar" a tratar la dimensión fractal en función del intervalo de escalas estudiado.
Lo mismo ocurre por ejemplo en el estudio de un bosque: desde el árbol más grande hasta la rama más pequeña, la dimensión fractal es constante. ¿Pero, qué ocurre con las escalas superiores e inferiores?
¿Alguien sabe si hay algo estudiado al respecto (o es que no lo he entendido bien
)?
Por otra parte, existe un sinfín de técnicas para generar fractales con aspecto caótico para simular (para el caso que nos trae) costas de lodo tipo, islas, continentes, relieves, etc. En muchas de estas técnicas, se usa un generador que suma muchos osciladores armónicos con frecuencias, amplitudes y fases que pueden ser aleatorias (o más bien pseudo-aleatorias), de manera que se logra un efecto de rugosidad continua y caótica que se puede controlar con pocos parámetros.
El caso es que se me ocurrió que se podría hacer lo mismo pero al revés, con el Análisis de Fourier. Si tomáramos la medida más precisa posible de la trayectoria de una costa (por ejemplo una isla) y la transformáramos en dos funciones de una variable de distancia a lo largo del recorrido dividido por el perímetro total ¿no podríamos sacar una función aproximada del espectro de longitudes de onda para cada eje que conforman la costa de dicha isla?
Puede parecer una tontería hablar de las longitudes de onda de una costa. ¿Pero no daría esto información muy precisa de su rugosidad en cada escala? Además se pueden tomar intervalos de costa arbitrarios para ver los cambios del espectro a lo largo de todo su recorrido.
Claro que el resultado también estaría sujeto a la precisión de la medida, pero a cierto nivel de detalle podría ser útil para el estudio de todo tipo de fenómenos naturales con geometría fractal.
¿Buscando he encontrado algún estudio que lo usa, pero hay algún fundamento, disciplina, aplicación, etc. para el estudio de superficies o volúmenes naturales de distribución fractal mediante mediante Fourier?
Gracias y saludos.
Releyendo "The Fractal Geomety of Nature" (de Benoit B. Mandelbrot) respecto al problema de la medida de la longitud de una costa, me vino en mente un par de dudas. Entiendo que el problema no tiene solución práctica y surge el concepto de "dimensión fractal" para al menos saber cuanto cambia la medida de la costa al cambiar el tamaño de la regla con la que la medimos. O lo que es lo mismo, da una medida de la "rugosidad" de la costa.
La dimensión fractal es un límite en donde la longitud de la trayectoria de la costa se vuelve infinita. Es una constante para cada fractal, pero como medida de la rugosidad, no debería ser constante en todas las escalas para las formaciones naturales. Puede haber una costa muy suave a muchas escalas y de repente, a partir de cierta escala, se vuelve muy rugosa y caótica. Esto debe "obligar" a tratar la dimensión fractal en función del intervalo de escalas estudiado.
Lo mismo ocurre por ejemplo en el estudio de un bosque: desde el árbol más grande hasta la rama más pequeña, la dimensión fractal es constante. ¿Pero, qué ocurre con las escalas superiores e inferiores?
¿Alguien sabe si hay algo estudiado al respecto (o es que no lo he entendido bien
)? Por otra parte, existe un sinfín de técnicas para generar fractales con aspecto caótico para simular (para el caso que nos trae) costas de lodo tipo, islas, continentes, relieves, etc. En muchas de estas técnicas, se usa un generador que suma muchos osciladores armónicos con frecuencias, amplitudes y fases que pueden ser aleatorias (o más bien pseudo-aleatorias), de manera que se logra un efecto de rugosidad continua y caótica que se puede controlar con pocos parámetros.
El caso es que se me ocurrió que se podría hacer lo mismo pero al revés, con el Análisis de Fourier. Si tomáramos la medida más precisa posible de la trayectoria de una costa (por ejemplo una isla) y la transformáramos en dos funciones de una variable de distancia a lo largo del recorrido dividido por el perímetro total ¿no podríamos sacar una función aproximada del espectro de longitudes de onda para cada eje que conforman la costa de dicha isla?
Puede parecer una tontería hablar de las longitudes de onda de una costa. ¿Pero no daría esto información muy precisa de su rugosidad en cada escala? Además se pueden tomar intervalos de costa arbitrarios para ver los cambios del espectro a lo largo de todo su recorrido.
Claro que el resultado también estaría sujeto a la precisión de la medida, pero a cierto nivel de detalle podría ser útil para el estudio de todo tipo de fenómenos naturales con geometría fractal.
¿Buscando he encontrado algún estudio que lo usa, pero hay algún fundamento, disciplina, aplicación, etc. para el estudio de superficies o volúmenes naturales de distribución fractal mediante mediante Fourier?
Gracias y saludos.