1r ciclo Proyección de un vector sobre 2 subespacios no perpendiculares

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio en el que me han surgido algunas dudas con el segundo apartado. Dice así:

Sean $V_1=\left\{{(1,1,5,2),(0,1,1,1),(2,3,11,5)}\right\}$ y $V_2=\left\{{(1,1,1,1),(2,-2,0,0),(3,-1,1,1)}\right\}$. a) Demostrar que $\mathbb{R}^4=V_1\oplus{V_2}$ y b) descomponer $(2,0,0,3)$ en suma de un vector de $V_1$ y un vector de $V_2$.

Del apartado a) veo que hay un vector en cada una de las bases de los subespacios que es combinación lineal del resto. Ahora bien, $V_1$ y $V_2$ no son perpendiculares. ¿Es posible proyectar el vector que me piden para descomponerlo como dicen? ¿Cómo lo hago en el caso de que los dos subespacios no sean perpendiculares, como es este caso?

Gracias!

[hennin]

Re: Proyección de un vector sobre 2 subespacios no perpendiculares

El problema es que a) es falso. La intersección es no nula.

[mariolp]

Re: Proyección de un vector sobre 2 subespacios no perpendiculares

Del primer subespacio V1 puedes darte cuenta que el tercer vector que genera el subespacio es dos veces el primero mas una vez el segundo, por lo tanto es combinación lineal y podemos reescribir V1 como:

$$V_1 =\left\{ (1,1,5,2),(0,1,1,1) \right\}$$

De la misma manera, el tercer vector de V2 es suma de los otros dos, luego reescribimos V2 como:

$$V_2 = \left\{ (1,1,1,1),(2,-2,0,0) \right\}$$

Ahora, para que podamos escribir R4 como suma directa de los dos subespacios ha de cumplirse que la intersección de ambos subespacios sea cero y que generen todo el espacio 4-dimensional.

Ya que los cuatro vectores son linealmente independientes, la intersección de $V_1$ y $V_2$ es cero y se puede comprobar que generan todo el espacio. Por lo tanto queda probado que es suma directa.

Para descomponer ese vector has de resolver un sistema como el que sigue:

$$(2,0,0,3)=\alpha_1 (1,1,5,2) + \alpha_2 (0,1,1,1) + \alpha_3 (1,1,1,1) + \alpha_4 (2,-2,0,0)$$

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Un saludo