1r ciclo Aplicaciones lineales

[carlosphy]

Después de haber hecho unos cuantos ejercicios vuelvo a recurrir al foro ya que me he quedado atascado con éste.

Se tiene una aplicación de $R^3$

$V=[v_1=(5,3,1), v_2=(1,-3,-2), v_3=(1,2,1)]$

$f(v_1)=(-2,1,0) ,f(v_2)=(-1,3,0), f(v_3)=(-2,-3,0)$

Y se pide: a) la matriz f en la base V b) la matriz de cambio de base de V a la canónica y c) la matriz f en la base canónica.

He planteado la ecuación $(v_1,v_2,v_3)*F=(f(v_1),(f(v_2),f(v_3))$ que en forma matricial es:

$\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}*F=\begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Primero he querido hallar la matriz f en la base canónica multiplicando por la inversa de la matriz de las v's por la izquierda en ambos miembros y según Wolfram Alpha el resultado es:

Pero ése no es el resultado que tengo. No entiendo por qué no sale si antes he resuelto ejercicios igual ( como por el que pregunté aquí esta mañana)


Gracias a todos.

Acabo de editar porque me había equivocado en un signo. De todos modos sigue sin salirme el resultado que debería dar.

Dejo la forma en la que esta resuelto el ejercicio. Sólo está calculada la matriz de la aplicación lineal en la base v (F)

[Nabla]

Re: Aplicaciones lineales

Muy buenas,

Me parece que el fallo es que la ecuación a plantear es $F*(v_1,v_2,v_3)=(f(v_1),f(v_2),f(v_3))$, luego hay que multiplicar a derecha por la matriz inversa de vectores de la base V.

Un saludo,

Nabla.

[gdonoso94]

Re: Aplicaciones lineales

Buenas Carlos.

Voy a intentar ayudarte con este tema, aunque la verdad es que lo tengo un poco verde. Para empezar te aclaro mi nomenclatura:

A la matriz en la base V la llamo $M_V$, en la base canónica la llamo $M_C$. La matriz de cambio de base de V a la canónica la llamo $M_{VC}$, y la de la canónica a la base V $M_{CV}$. Ahora bien, si haces un diagrama poniendo las bases con sus respectivos espacios, algo así:



Tendríamos que para hallar la matriz en la base canónica tendrías que hacer:

$M_C=M_{VC}\cdot M_v\cdot M_{CV}$

Donde:

$M_{VC}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Y:

$M_{CV}=\left(M_{VC}\right)^{-1}=\left(\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\right)^{-1}$

Espero que tengas suerte.

Saludos!

[Nabla]

Re: Aplicaciones lineales

Bueno, parece que estamos en desacuerdo
Veamos, siguiendo tu notación, creo que las matrices están puestas al revés. Así,

$$M_{CV}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

(la matriz de cambio de base de la canónica a la base V se obtiene sin más que poner los vectores de la base V en columnas). Por tanto,

$$M_{VC}=\left(M_{CV}\right)^{-1}=\left(\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\right)^{-1}$$

Por otro lado, creo que hay un error en el esquema que has dibujado. La matriz $(f(v_1),f(v_2),f(v_3))$ que te dan en el enunciado va, siguiendo el esquema, de V a C, y no de V a V (precisamente de V a V es lo que se pide en el apartado a). Por ello, el esquema general sería: C--->V a través de $M_{CV}$, y V--->C a través de la matriz $(f(v_1),f(v_2),f(v_3))$. Por ello, la ecuación final para llegar a la solución y pasar de C a C es

$$M_C= (f(v_1),f(v_2),f(v_3))\cdot {(M_{CV})}^{-1}=(f(v_1),f(v_2),f(v_3))\cdot (M_{VC})$$

Mira a ver si estás de acuerdo, que puede que haya metido la pata con tanta notación xD

Un saludo,

Nabla

[carlosphy]

Re: Aplicaciones lineales

Muy buenas,

Me parece que el fallo es que la ecuación a plantear es $F*(v_1,v_2,v_3)=(f(v_1),(f(v_2),f(v_3))$, luego hay que multiplicar a derecha por la matriz inversa de vectores de la base V.

Un saludo,

Nabla.

También lo he intentado de esa forma y no me da el resultado. Estoy intentando resolver los problemas con la nomenclatura y definición que usa el profesor de la asignatura y el planteó la ecuación de esa manera.

Subo el ejercicio resuelto. Entiendo lo que hace pero no entiendo por qué. Si en la ecuación principal ya está f(v) y v ¿no debería de ser inmediato calcular F en la base v?

http://i.imgur.com/8kpcoX6.jpg

Buenas Carlos.

Voy a intentar ayudarte con este tema, aunque la verdad es que lo tengo un poco verde. Para empezar te aclaro mi nomenclatura:

A la matriz en la base V la llamo $M_V$, en la base canónica la llamo $M_C$. La matriz de cambio de base de V a la canónica la llamo $M_{VC}$, y la de la canónica a la base V $M_{CV}$. Ahora bien, si haces un diagrama poniendo las bases con sus respectivos espacios, algo así:

[ATTACH=CONFIG]7471[/ATTACH]

Tendríamos que para hallar la matriz en la base canónica tendrías que hacer:

$M_C=M_{VC}\cdot M_v\cdot M_{CV}$

Donde:

$M_{VC}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Y:

$M_{CV}=\left(M_{VC}\right)^{-1}=\left(\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\right)^{-1}$

Espero que tengas suerte.

Saludos!

Tengo la cabeza hecha un lío con las nomenclaturas. Estoy estudiando del Hernández y luego voy a los ejercicios a comparar las definiciones que el profesor usa para usar también yo las mismas.

Gracias a ambos.

[gdonoso94]

Re: Aplicaciones lineales

La verdad es que no estoy muy seguro de lo de que la matriz de cambio de V a C sea la q yo he puesto, como he dicho, tengo el tema un poco dejado porque el profesor que me examina es demasiado ca**** y no me presento a la recuperación :P. Yo lo hago como lo hace juanmemol en su videos de internet (o eso creo). En cuanto a lo otro, yo pongo como matriz Mv la misma que mencionas tu, la que te dan con f(vi) (i=1,2,3).

Perdón por la respuesta tan escueta, estoy desde el móvil y en la playa. Disculpa si os he liado, pero el esquema es correcto, quizá las matrices no.

Un saludo y suerte.

[abuelillo]

Re: Aplicaciones lineales

Asi es como yo lo plantearia, es la forma mas intuitiva que se me ocurre. El resultado final me coincide con el resultado que has posteado:

Vectores que nos da el problema en forma de matricial, vectores iniciales(en base canonica) y vectores transformados (en base canonica) despues de aplicar la tranformacion lineal f:

$<br /> V= \begin{pmatrix}<br /> 5 & 1 & 1 \\<br /> 3 & -3 & 2 \\<br /> 1 & -2 & 1<br /> \end{pmatrix}<br /> ~~~<br /> V_{f} = \begin{pmatrix}<br /> -2 & -1 & -2 \\<br /> 1 & 3 & -3 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}<br />$

a) Calcular Matriz F de la tranformacion lineal en base canonica: F multiplicada por matriz de vectores iniciales tiene que dar la matriz de vectores finales, despejamos F:

$<br /> FV=V_{f}<br /> ~~~\Rightarrow~~~<br /> F V V^{-1} = V_{f} V^{-1}<br /> ~~~\Rightarrow~~~<br /> F = V_{f} V^{-1}<br />$

$<br /> F= \begin{pmatrix}<br /> 5 & -20 & 33 \\<br /> 7 & -24 & 38 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}<br />$

b) Calcular Matriz cambio de base de V a canonica: es trivial es directamente la matriz V (o la inversa de V segun que definicion se use).

c) Calcular Matriz F de la transformacion lineal en base V:
Es decir los vectores iniciales y finales tienen que estar en base V, asi que dado un vector (en base V) hay que calcular una matriz que haga todo lo siguiente:
1. Convertir el vector a la base canonica (multiplicandolo por V)
2. El vector ya en base canonica multiplicarlo por la matriz F para aplicarle la tranformacion lineal (la matriz calculada en el apartado a).
3. El vector ya transformado pero que estara en base canonica convertirlo de nuevo a la base V (multiplicandolo por la inversa de V).
Recordar que el orden de las operaciones de matrices son de derecha a izquierda.

$<br /> F_{V} = V^{-1} F V <br /> ~~~<br /> F V = V_{f} <br /> ~~~\Rightarrow~~~<br /> F_{V} = V^{-1} V_{f}<br />$

$<br /> F_{V}= \begin{pmatrix}<br /> -5 & -10 & 7 \\<br /> 6 & 13 & -10 \\<br /> 17 & 36 & -27<br /> \end{pmatrix}<br />$

Las matrices que salen son las mismas que ha usado el profesor (yo he usado nombres diferentes para las matrices porque M y P no me decian nada :P), solo que el profesor lo ha razonado de otra forma, mas directa pero menos intuitiva.
Si hay alguna duda con la forma de resolverlo que he usado, no tienes mas que postear.

[carlosphy]

Re: Aplicaciones lineales

Asi es como yo lo plantearia, es la forma mas intuitiva que se me ocurre. El resultado final me coincide con el resultado que has posteado:

Vectores que nos da el problema en forma de matricial, vectores iniciales(en base canonica) y vectores transformados (en base canonica) despues de aplicar la tranformacion lineal f:

$<br /> V= \begin{pmatrix}<br /> 5 & 1 & 1 \\<br /> 3 & -3 & 2 \\<br /> 1 & -2 & 1<br /> \end{pmatrix}<br /> ~~~<br /> V_{f} = \begin{pmatrix}<br /> -2 & -1 & -2 \\<br /> 1 & 3 & -3 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}<br />$

a) Calcular Matriz F de la tranformacion lineal en base canonica: F multiplicada por matriz de vectores iniciales tiene que dar la matriz de vectores finales, despejamos F:

$<br /> FV=V_{f}<br /> ~~~\Rightarrow~~~<br /> F V V^{-1} = V_{f} V^{-1}<br /> ~~~\Rightarrow~~~<br /> F = V_{f} V^{-1}<br />$

$<br /> F= \begin{pmatrix}<br /> 5 & -20 & 33 \\<br /> 7 & -24 & 38 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}<br />$

b) Calcular Matriz cambio de base de V a canonica: es trivial es directamente la matriz V (o la inversa de V segun que definicion se use).

c) Calcular Matriz F de la transformacion lineal en base V:
Es decir los vectores iniciales y finales tienen que estar en base V, asi que dado un vector (en base V) hay que calcular una matriz que haga todo lo siguiente:
1. Convertir el vector a la base canonica (multiplicandolo por V)
2. El vector ya en base canonica multiplicarlo por la matriz F para aplicarle la tranformacion lineal (la matriz calculada en el apartado a).
3. El vector ya transformado pero que estara en base canonica convertirlo de nuevo a la base V (multiplicandolo por la inversa de V).
Recordar que el orden de las operaciones de matrices son de derecha a izquierda.

$<br /> F_{V} = V^{-1} F V <br /> ~~~<br /> F V = V_{f} <br /> ~~~\Rightarrow~~~<br /> F_{V} = V^{-1} V_{f}<br />$

$<br /> F_{V}= \begin{pmatrix}<br /> -5 & -10 & 7 \\<br /> 6 & 13 & -10 \\<br /> 17 & 36 & -27<br /> \end{pmatrix}<br />$

Las matrices que salen son las mismas que ha usado el profesor (yo he usado nombres diferentes para las matrices porque M y P no me decian nada :P), solo que el profesor lo ha razonado de otra forma, mas directa pero menos intuitiva.
Si hay alguna duda con la forma de resolverlo que he usado, no tienes mas que postear.

Quería agradecerte aunque hayan pasado un par de semanas. Ahora tengo todo mucho más claro!