1r ciclo Diagonalizacion por semejanza

[cv5r20]

Hola, me dan la matriz A y piden estudiar en funcion del valor $\alpha$ la existencia de una matriz Q tal que $A=QDQ^-1$ siendo D la matriz diagonal.

A= $\begin{pmatrix}\alpha &\alpha & 1 \\-1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & \alpha\end{pmatrix}$


Saco el polinomio característico:

$-\lambda^3+\lambda^2(2\alpha+1)+\lambda(-3\alpha-\alpha ^2 +2)+(2\alpha ^2-2\alpha)=0$

y haciendo ruffini saco sus valores propios;

$\lambda _1=2$

$\lambda _2=\alpha$

$\lambda _3=\alpha -1$

La matriz D será la matriz de valores propios: $D=\begin{pmatrix}2 &0& 0 \\0& \alpha & 0\\ 0 & 0 & \alpha -1\end{pmatrix}$

Lo que me confunde es la matriz Q ya que yo sepa según la forma $A=P^-1 DP$, P es la matriz de vectores propios pero aqui no se que es Q.

[mariolp]

Re: Diagonalizacion por semejanza

Aquí es exactamente lo mismo.

Es usual poner $A=QDQ^{-1}$ o $A=Q^{-1}DQ$. En esencia es lo mismo, en este caso $Q$ es la matriz de cambio de base, es decir, la formada por los vectores propios.

Sólo comentar que para saber si es diagonalizable debes obtener el polinomio mínimo, si está formado por producto de monomios entonces es diagonalizable. En concreto "podría" no ser diagonalizable (habría que obtener el polinomio mínimo para saberlo) en los casos en que $\alpha$ es 2 ó 3, ya que tendríamos valores propios con multiplicidad mayor a uno.

Un saludo

[cv5r20]

Re: Diagonalizacion por semejanza

¿como se calcula el polinomio mínimo ?

He estado probando con matrices diagonalizables por semejanza y he hecho los productos de $A=QDQ^-1$ y $A=Q^-1DQ$ y no me salen lo mismo,¿por qué?



los vectores propios me salen que son:

$v_1=(\frac{\mathrm{\alpha ^3 -3\alpha +2} }{\mathrm{2} },\frac{\mathrm{\alpha -3} }{\mathrm{2} },1)$

$v_1=(1-2\alpha ,1,\alpha)$

$v_2=(-1,0,1)$


otra pregunta, ¿hay alguna manera de meter en matlab esta matriz ?

Gracias