1r ciclo Diagonalización de una forma cuadrática por congruencia

[Pepealej]

Hola, tengo una duda con el siguiente ejercicio:

Hallar una base de $\mathbb{R}^3$ en la que la forma cuadratica $Q(\vec{v})=(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+4x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3$ se reduzca a suma canonica de cuadrados $Q(\vec{v})=(\hat{x_1})^2+(\hat{x_2})^2+(\hat{x_3})^2$
Escribir la transformacion de coordenadas $\hat{X} = P^{-1}X$ correspondiente.

Mi duda surge cuando leo la resolución del ejercicio por congruencia.

En este método diagonalizan la matriz de la forma cuadrática mediante operaciones elementales, aplicando únicamente las operaciones por columnas a una matriz identidad. De esta forma obtienen una matriz $P^t$ tal que:

$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-2}\\{2}&{1}&{2}\\{-2}&{2}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\sim{\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-3}&{0}\\{0}&{0}&{9}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-2}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}$

Llamando $P=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-2}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$

Y diciendo: $\hat{X}=PX$, para diagonalizar la forma cuadrática tal que: $Q(\vec{v})=(\hat{x_1})^2-3(\hat{x_2})^2+9(\hat{x_3})^2$.

No entiendo para nada este método. Me confunde que aquí solo anoten las opraciones por columnas, y en el libro que utilizo lo hagan por filas. Además, tampoco entiendo porqué ahora se usa $P$, en vez de $P^{-1}=P^{t}$ como cuando se hace por autovalores.

Gracias.

[gdonoso94]

Re: Diagonalización de una forma cuadrática por congruencia

En el libro "Algebra lineal con métodos elementales" de Luis Merino y Evangelina Santos tienes la demostración del procedimiento. Lo tienes, que lo se :P.

Un saludo, Pepe.