1r ciclo [ACTUALIZADO] Base de un subespacio a partir de la matriz de Gram

[Pepealej]

[ACTUALIZADO]

¿Cómo resuelvo el siguiente ejercicio?

¿Define $g(\vec{v},\vec{w})=10x_1y_1+3(x_1y_2+x_2y_1)+2x_2y_2+x_2y_3+x_3y_2+x_3y_3$ con $\vec{v}=(x_1,x_2,x_3)$ y $\vec{w}=(y_1,y_2,y_3)$ un producto escalar en $\mathbb{R}^3$? En caso afirmativo, calcular una base ortonormal.

[ACTUALIADO]



--RESUELTO--
Hola, tengo la siguiente forma cuadrática $Q$ de la cual me preguntan si existe algún producto escalar en $\mathbb{R}^3$ asociado a $Q$.

$Q(\vec{v})=(x_1)^2-4x_1x_2+6(x_2)^2+2x_2x_3-(x_3)^2$; $Q=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{0}\\{-2}&{6}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\end{bmatrix}$

A primera vista diría que sí, puesto que $Q$ es simética, como toda matriz de Gram. Después me propongo encontrar la base del subespacio, pero la única relación que se me ocurre es la que define a la matriz de Gram, pero no sé como sacar la base de ahí.

Gracias por vuestra ayuda.
--RESUELTO--

[gdonoso94]

Re: Base de un subespacio a partir de la matriz de Gram

Para que exista un producto escalar tiene que ser simétrica y definida positiva, si no recuerdo mal. El modo de saber si es definida positiva que más rápido me viene a la cabeza es el criterio de Sylvester.

Saludos!