Secundaria Sobre combinación lineal

[juantv]

revisando una proposición acerca de si un vector es combinación lineal de otros dos (por ejemplo vectores de $\mathbb{R}^2$), me confundo al darle un valor de verdad(probar) a esta:


"si $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$ $\in$ $\mathbb{R}^2$ , $\mathbf c$ No es combinacion lineal de $\mathbf a$ y $\mathbf b$ si (o si y solo si) $\mathbf a = \lambda \mathbf b$ ( $\lambda \neq{0}$ , o lo que es lo mismo si son paralelos )"


se me ocurre esto:


si $\mathbf a = \lambda \mathbf b$ y c es combinacion lineal de $\mathbf a$ y $\mathbf b$ quiere decir que $\mathbf c = \lambda _1 \mathbf a + \lambda _2 \mathbf b$ con lo que $\mathbf c = (\lambda _1 \lambda + \lambda _2)\mathbf b$ o lo que es lo mismo $\mathbf c = (\lambda _1 \lambda + \lambda _2)\mathbf b + 0\mathbf a$ , entonces que puedo concluir? no puedo decir que demostré que c es combinación lineal de a y b por que lo asumí desde el principio, verdad?


no se como llegar a una verdad o falsedad acerca de la proposición (no se como empezar debidamente), ¿cuando un vector no es (no se puede expresar como) combinación lineal de otros dos (por ejemplo para $\mathbb{R}^2$) ?




Agradezco su orientación al respecto

[gdonoso94]

Re: Sobre combinación lineal

Hola. Creo que ya lo has demostrado. Si a y b son combinación lineal, c sólo puede quedar como combinación lineal de uno de estos, no de los dos a la vez.

De todas maneras no es mi fuerte probar afirmaciones. Esperemos que otro forero de su opinión.

Un saludo.

[sater]

Re: Sobre combinación lineal

Yo creo que es así: un vector solo puede expresarse como combinación lineal de otros dos si estos son linealmente independientes entre sí, lo que en ${V}^{2 }$ son simplemente dos vectores que no posean la misma dirección. Para que un vector se pueda expresar como combinación lineal de otros dos deben existir ${\lambda}_{1 }, {\lambda}_{2 } / \vec{c} = {\lambda}_{1 }\vec{a}+{\lambda}_{2 }\vec{b}$ con ${\lambda}_{1 }, {\lambda}_{2 } \in R$.

Esto viene de las transformaciones de Gauss que no se si habrás visto. En ${V}^{2 }$ yo podría tener tres vectores con dos componentes y formar una matriz 3x2, buscando su rango (que es el nùmero de líneas linealmente independientes entre sí) para lo que puedo utilizar las transformaciones de Gauss (restar filas, cambiarlas de lugar...) para triangularizar la matriz con ceros por debajo de la diagonal y su rango sería el número de filas no nulas. Más facilmente esto se suele hacer con un determiante, ya que el rango es el orden del mayor menor no nulo que posea la matriz. Esto es así porque una de las propiedades de los determinantes es que es cero si una de sus líneas es combinación lineal de las demas.
Nota: Un menor ${M}_{ij }$ es el determinante que queda al tachar la fila i-ésima y la columna j-ésima (no sé si esto está bien dicho xD)

Así rápidamente se ve que en ${V}^{2 }$ las matrices formadas seran del tipo nx2, al tener solo dos componentes los vectores, y entonces el mayor menor no nulo será de orden dos, por lo que sólamente podrías encontrar dos vectores linealmente independientes. Seguidamente se ve que en ${V}^{3 }$ podrías encontrar tres.

Así como conclusión también puedes ver que la base canónica, que es la que habitualmente usamos en física, está formada por el punto (0,0,0) y tres vectores unitarios perpendiculares entre sí (es decir, linealmente independientes). Así cuando tu dices que un vector tiene por coordenadas v(1,2,1) por ejemplo, lo que quieres decir es que ese vector en una base cualquiera (y en este caso la canónica) es la forma abreviada de escribir v= 1i+ 2·j + 1·k. Esto significa que los lambdas que usas al principio son las coordenadas en una base que previamente se define.

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Sobre combinación lineal

Yo creo que es así: un vector solo puede expresarse como combinación lineal de otros dos si estos son linealmente independientes entre sí, lo que en ${V}^{2 }$ son simplemente dos vectores que no posean la misma dirección. Para que un vector se pueda expresar como combinación lineal de otros dos deben existir ${\lambda}_{1 }, {\lambda}_{2 } / \vec{c} = {\lambda}_{1 }\vec{a}+{\lambda}_{2 }\vec{b}$ con ${\lambda}_{1 }, {\lambda}_{2 } \in R$.

Esto viene de las transformaciones de Gauss que no se si habrás visto. En ${V}^{2 }$ yo podría tener tres vectores con dos componentes y formar una matriz 3x2, buscando su rango (que es el nùmero de líneas linealmente independientes entre sí) para lo que puedo utilizar las transformaciones de Gauss (restar filas, cambiarlas de lugar...) para triangularizar la matriz con ceros por debajo de la diagonal y su rango sería el número de filas no nulas. Más facilmente esto se suele hacer con un determiante, ya que el rango es el orden del mayor menor no nulo que posea la matriz. Esto es así porque una de las propiedades de los determinantes es que es cero si una de sus líneas es combinación lineal de las demas.
Nota: Un menor ${M}_{ij }$ es el determinante que queda al tachar la fila i-ésima y la columna j-ésima (no sé si esto está bien dicho xD)

Así rápidamente se ve que en ${V}^{2 }$ las matrices formadas seran del tipo nx2, al tener solo dos componentes los vectores, y entonces el mayor menor no nulo será de orden dos, por lo que sólamente podrías encontrar dos vectores linealmente independientes. Seguidamente se ve que en ${V}^{3 }$ podrías encontrar tres.

Así como conclusión también puedes ver que la base canónica, que es la que habitualmente usamos en física, está formada por el punto (0,0,0) y tres vectores unitarios perpendiculares entre sí (es decir, linealmente independientes). Así cuando tu dices que un vector tiene por coordenadas v(1,2,1) por ejemplo, lo que quieres decir es que ese vector en una base cualquiera (y en este caso la canónica) es la forma abreviada de escribir v= 1i+ 2·j + 1·k. Esto significa que los lambdas que usas al principio son las coordenadas en una base que previamente se define.

Un saludo

Buen aporte, no había caído en que si no forman una base ambos vectores no pueden generar.

Mi observación, sin embargo, creo que para la finalidad del ejercicio es mucho más simple y no requiere recurrir a la definición base o de sistema de generadores.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Sobre combinación lineal

No sé si es que no he cogido algo, pero creo que os estáis saltando lo básico de la definición: Un vector es combinación lineal de otros dos si se puede expresar como suma de estos dos multiplicados cada uno de ellos por un escalar. ¿Qué importa la relación que tengan estos dos vectores y si son o no linealmente independientes entre sí? Por ejemplo, con los vectores $a=(1,1)$ y $b=(2,2)$ de $\mathbb {R}^2$, tenemos que $c=(3,3)$ es combinación lineal de a y b (pues a+b=c) y sin embargo se cumple que $b=2a$. Otra cosa bien distinta es que si a y b no son linealmente independientes, a,b,c tampoco lo sean.

Saludos

[gdonoso94]

Re: Sobre combinación lineal

No sé si es que no he cogido algo, pero creo que os estáis saltando lo básico de la definición: Un vector es combinación lineal de otros dos si se puede expresar como suma de estos dos multiplicados cada uno de ellos por un escalar. ¿Qué importa la relación que tengan estos dos vectores y si son o no linealmente independientes entre sí? Por ejemplo, con los vectores $a=(1,1)$ y $b=(2,2)$ de $\mathbb {R}^2$, tenemos que $c=(3,3)$ es combinación lineal de a y b (pues a+b=c) y sin embargo se cumple que $b=2a$. Otra cosa bien distinta es que si a y b no son linealmente independientes, a,b,c tampoco lo sean.

Saludos

Entonces no entiendo el propósito de demostrar esa afirmación, la cual dice que si a y b son proporcionales, como acabas de escribir, c no puede ser combinación lineal de estos.

[angel relativamente]

Re: Sobre combinación lineal

La primera afirmación de juantv diría que es falsa, ya que habla de un c de $\mathbb{R}^2$ genérico. Naturalmente que existe un c combinación lineal de dos vectores a,b linealmente dependientes entre sí (existen muchos "vectores c", como el de mi ejemplo anterior). Pero no es cierto que para todo c se cumpla. Un matiz podía ser el siguiente:

Si a,b son dos vectores l.i. de $\mathbb{R}^2$, todo vector $c\in \mathbb{R}^2$ puede expresarse como combinación lineal de estos y de manera única (a y b forman base). Si a,b son l.d, no todo vector de $\mathbb{R}^2$ puede expresarse como combinación lineal de estos, pero sí existen combinaciones lineales de estos pertenecientes al espacio $\mathbb{R}^2$, ya que por la definición de espacio vectorial $\lambda a + \mu b = c \in \mathbb{R}^2$, para cualquier $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.

Saludos

[juantv]

Re: Sobre combinación lineal

Gracias por sus respuestas, sin embargo apenas estoy empezando el curso y no asimilo muy bien cuando involucran al ejercicio dependencia e independencia lineal, espacios vectoriales y bases.
por lo que le entiendo a Ángel la afirmación:

"si , , , No es combinación lineal de y si (o si y solo si) ( , o lo que es lo mismo si son paralelos )"


es Falsa (verdad?)

mas bien otra situación seria:

"si , , , No es combinación lineal de y si (o si y solo si) y no paralelo con a y no paralelo con b( , o lo que es lo mismo si son paralelos )"

que seria Verdadero (verdad?)

es a lo mas que puedo por el momento concluir, ya que no manejo los otros conceptos que citaron. Estoy en lo cierto?


Agradezco su orientación al respecto.

[javier m]

Re: Sobre combinación lineal

Yo creo que lo que quisieron poner fue esto

"si , , , existe algún que No es combinación lineal de y si ( , o lo que es lo mismo si son paralelos )"

[juantv]

Re: Sobre combinación lineal

Yo creo que lo que quisieron poner fue esto

"si , , , existe algún que No es combinación lineal de y si ( , o lo que es lo mismo si son paralelos )"

ese vector c seria aquel que no es paralelo con a y no paralelo con b , ¿Verdad?

[javier m]

Re: Sobre combinación lineal

ese vector c seria aquel que no es paralelo con a y no paralelo con b , ¿Verdad?

sí, interpretarlo es bastante facil, uno con dos vectores paralelos solo puede formar una recta haciendo combinaciones lineales. Cualquier vector que no esté en esa recta (que no sea paralelo a a (o a b, da lo mismo)) no es combinación lineal de a y b

Supongo que para demostrarlo habría que ver cual es el conjunto de todas las combinaciones lineales de a y b, y buscar un c que no esté ahí.

sea A el conjunto de todas las combinaciones lineales y b=$(b_1,b_2)$, tenemos que A={$(x,y)|x=(\lambda _1 \lambda + \lambda _2)b_1, y=(\lambda _1 \lambda + \lambda _2)b_2,con \lambda_1,\lambda_2,\lambda \in R$}

Es claro que c=$((\lambda _1 \lambda + \lambda _2)b_1+1,(\lambda _1 \lambda + \lambda _2)b_2)\notin A$

No es una superdemostración pero sirve, creo.